a) Sejam G é um grupo abeliano de ordem 91 e H um subgrupo próprio de G (H neq G, H neqe, onde e é o elemento neutro de G). Prove que o grupo quociente G / H é cíclico. (1,0 ponto)
b) Prove que todo subgrupo de um grupo cíclico é também cíclico.

Passo 1

O exercício pede duas coisas: (a) mostrar que se G é um grupo abeliano de ordem 91 e H um subgrupo próprio não trivial, então G/H é cíclico; (b) provar que todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico. O conteúdo principal envolve: teoria de grupos finitos, Lagrange, grupos de ordem produto de primos e subgrupos de grupos cíclicos.

Passo 2

Para (a), usamos o Teorema de Lagrange, que diz que lvert Hrvert divide lvert Grvert=91=7times13. Como H não é trivial nem igual a G, só restam duas possibilidades: lvert Hrvert=7 ou 13. Então o índice é
[G:H]=91lvert Hrvert=13; ou;7
e, portanto, lvert G/Hrvert é primo. Grupos de ordem primo são cíclicos, logo G/H é cíclico.

Passo 3

Para (b), seja G=lang<= arang<= um grupo cíclico e H<= G. Se H=e então já é cíclico (gerado por a^0). Caso contrário, defina
d=mink>0:;a^kin H
A teoria de subgrupos de ciclos diz que todo elemento de H é da forma a^k e, pela escolha minimal de d, temos dmid k. Assim cada a^kin H pertence a lang<= a^drang<=, mostrando que
H=lang<= a^drang<=,
ou seja, H é cíclico.

Resposta

(a) Como lvert Hrvert=7 ou 13, tem-se lvert G/Hrvert=13 ou 7, e grupos de ordem primo são cíclicos; logo G/H é cíclico.
(b) Se G=lang<= arang<= e H<= G, então definindo d=mink>0:a^kin H obtém-se H=lang<= a^drang<=. Portanto todo subgrupo de grupo cíclico é cíclico.

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