a) Sejam
é um grupo abeliano de ordem 91 e
um subgrupo próprio de
, onde e é o elemento neutro de
. Prove que o grupo quociente
é cíclico. (1,0 ponto)
b) Prove que todo subgrupo de um grupo cíclico é também cíclico.
b) Prove que todo subgrupo de um grupo cíclico é também cíclico.
Passo 1
O exercício pede duas coisas: (a) mostrar que se
é um grupo abeliano de ordem 91 e
um subgrupo próprio não trivial, então
é cíclico; (b) provar que todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico. O conteúdo principal envolve: teoria de grupos finitos, Lagrange, grupos de ordem produto de primos e subgrupos de grupos cíclicos.
Passo 2
Para (a), usamos o Teorema de Lagrange, que diz que
divide
. Como
não é trivial nem igual a
, só restam duas possibilidades:
ou
. Então o índice é
e, portanto,
é primo. Grupos de ordem primo são cíclicos, logo
é cíclico.
Passo 3
Para (b), seja
um grupo cíclico e
. Se
então já é cíclico (gerado por
). Caso contrário, defina
A teoria de subgrupos de ciclos diz que todo elemento de
é da forma
e, pela escolha minimal de
, temos
. Assim cada
pertence a
, mostrando que
ou seja,
é cíclico.
Resposta
(a) Como
ou
, tem-se
ou
, e grupos de ordem primo são cíclicos; logo
é cíclico.
(b) Se
e
, então definindo
obtém-se
. Portanto todo subgrupo de grupo cíclico é cíclico.