Seja o grupo multiplicativo \mathbb{Z}_{5}^{*} e o subgrupo H=\{\overline{1}, \overline{4}\}
a) Utilize o Teorema de Lagrange para verificar a quantidade de classes laterais.
b) Mostre que \mathrm{H} \triangleleft \mathbb{Z}_{5}^{*}. Para isso, calcule as classes laterais à esquerda e à direita.
c) Determine o grupo quociente \mathbb{Z}_{5}^{*} / \mathrm{H}
Passo 1
O enunciado dá o grupo multiplicativo \mathbb{Z}_{5}^{*} e o subgrupo H=\{\overline{1},\overline{4}\}. As perguntas são:
(a) Usar o Teorema de Lagrange para verificar a quantidade de classes laterais.
(b) Mostrar que H\triangleleft\mathbb{Z}_{5}^{*} calculando as classes laterais à esquerda e à direita.
(c) Determinar o grupo quociente \mathbb{Z}_{5}^{*}/H.
As informações relevantes dadas: \mathbb{Z}_{5}^{*} é o conjunto das classes de resto invertíveis módulo 5 e H contém \overline{1} e \overline{4}.
Passo 2
Explicação do Teorema de Lagrange (passo-a-passo e didático): o Teorema de Lagrange diz que, se G é um grupo finito e K é um subgrupo de G, então a ordem de K divide a ordem de G. A ordem do subgrupo K é o número de elementos de K e a ordem de G é o número de elementos de G. O índice [G:K], que é a quantidade de classes laterais (cosets) de K em G, é dado por
[G:K]=\frac{|G|}{|K|}.
Aqui cada símbolo significa: |G| é o número de elementos de G, |K| é o número de elementos de K e [G:K] é quantas classes laterais distintas existem.
Aplicando ao nosso caso: a ordem de \mathbb{Z}_{5}^{*} é |\mathbb{Z}_{5}^{*}|=\varphi(5)=4, portanto
|\mathbb{Z}_{5}^{*}|=4.
A ordem de H é |H|=2 porque H=\{\overline{1},\overline{4}\} tem dois elementos. Logo, pelo Teorema de Lagrange,
[\mathbb{Z}_{5}^{*}:H]=\frac{4}{2}=2.
Portanto existem exatamente duas classes laterais de H em \mathbb{Z}_{5}^{*}. (Resposta da parte (a) obtida.)
Passo 3
Agora vou construir explicitamente as classes laterais à esquerda (para ver na prática como Lagrange se manifesta). Primeiro escrevo os elementos do grupo:
Como \overline{16}=\overline{16-15}=\overline{1}, temos
4H=\{\overline{4},\overline{1}\}=H.
Portanto as classes laterais à esquerda distintas são exatamente H=\{\overline{1},\overline{4}\} e 2H=\{\overline{2},\overline{3}\}, confirmando que há duas classes laterais.
Passo 4
Agora calculo as classes laterais à direita e comparo para verificar normalidade. Definição prática: a classe lateral à direita por g é Hg=\{h\cdot g \mid h\in H\}.
Comparando, para cada g\in\mathbb{Z}_{5}^{*} obtivemos gH=Hg (por exemplo 2H=H2=\{\overline{2},\overline{3}\}). Portanto H é um subgrupo normal de \mathbb{Z}_{5}^{*}, ou seja H\triangleleft\mathbb{Z}_{5}^{*}. (Observação extra rápida: como \mathbb{Z}_{5}^{*} é abeliano, todo subgrupo é normal — mas aqui eu já mostrei com cálculos as classes laterais à esquerda e à direita.)
Passo 5
Determino o grupo quociente \mathbb{Z}_{5}^{*}/H. O quociente é o conjunto das classes laterais:
A operação no quociente é (aH)(bH)=(ab)H. Vou verificar a ordem de 2H:
(2H)(2H)=(2\cdot 2)H=4H=H,
porque \overline{4}\in H. Assim 2H tem ordem 2 no quociente, e o quociente tem exatamente dois elementos. Qualquer grupo de ordem 2 é isomorfo a \mathbb{Z}_{2}. Posso dar um isomorfismo explícito:
(a) [\,\mathbb{Z}_{5}^{*}:H\,]=2.\newline
(b) Classes laterais à esquerda: \(H=\{\overline{1},\overline{4}\} e 2H=\{\overline{2},\overline{3}\}. Classes laterais à direita: H=\{\overline{1},\overline{4}\} e H2=\{\overline{2},\overline{3}\}. Logo H\triangleleft\mathbb{Z}_{5}^{*}.\newline
(c) \mathbb{Z}_{5}^{*}/H=\{H,\;2H\}=\{\{\overline{1},\overline{4}\},\{\overline{2},\overline{3}\}\}, com \mathbb{Z}_{5}^{*}/H\cong\mathbb{Z}_{2}.)