Sejam G=\{1, i,-1,-i\} o grupo multiplicativo e Abeliano e um subgrupo normal H=\{1,-1\}. Construa a Tábua do grupo quociente G / H=\{H, i H\}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede algo bem concreto.
  • Dados:
    • G=\{1,i,-1,-i\} é um grupo multiplicativo e abeliano (os elementos são os números complexos 1,i,-1,-i com multiplicação).
    • H=\{1,-1\} é um subgrupo de G e é normal (isso já foi afirmado no enunciado).
  • Pedido:
    • Construir a tábua (cayley table) do grupo quociente G/H, cujo conjunto de elementos foi indicado como G/H=\{H,iH\}.
Observação: aqui cada elemento de G/H é uma classe lateral (coseto) de H em G: H é a classe do elemento 1 e iH é a classe do elemento i. A resolução começa agora.

Passo 2

Calcular explicitamente as classes laterais (cosetos) que aparecem em G/H.
  • A classe H é
H=\{1,-1\}.
  • A classe iH é obtida multiplicando cada elemento de H por i:
iH=\{i\cdot 1,\; i\cdot(-1)\}=\{i,-i\}.
Portanto realmente G/H=\{H,\; iH\} com H=\{1,-1\} e iH=\{i,-i\}.

Passo 3

Explicar como se multiplica elementos no quociente G/H e por que a multiplicação é bem-definida.
  • Regra de multiplicação de cosetos: para quaisquer a,b\in G define-se
(aH)(bH)=(ab)H.
Aqui a e b são representantes das classes; o resultado é a classe do produto ab.
  • Por que isso é bem-definido? Significa que a escolha de representantes não altera a classe resultante. Uma razão simples: como G é abeliano, todo subgrupo é normal, então aH=Ha para todo a, e a multiplicação acima fornece uma operação consistente em G/H. (Se H não fosse normal, a operação poderia não ser bem-definida.)

Passo 4

Calcular H\cdot H.
Use a regra com representantes: escolher 1\in H e 1\in H,
(H)(H)=(1H)(1H)=(1\cdot 1)H=1H=H.
Logo o produto H\cdot H é H. Isso também reflete que H é a classe identidade do quociente.

Passo 5

Calcular H\cdot iH e iH\cdot H.
  • Usando representante 1 para H e i para iH,
(H)(iH)=(1H)(iH)=(1\cdot i)H=iH.
  • Como o grupo quociente herda a abelianidade (já que G é abeliano), mas mesmo sem usar isso, usando representantes para iH e H,
(iH)(H)=(iH)(1H)=(i\cdot 1)H=iH.
Portanto H é elemento neutro e H\cdot iH = iH\cdot H = iH.

Passo 6

Calcular iH\cdot iH.
Escolha i como representante de cada classe:
(iH)(iH)=(i\cdot i)H=(i^2)H.
Lembrando que i^2=-1, obtemos
(iH)(iH)=(-1)H.
Mas -1\in H, então a classe (-1)H é a mesma que H. Logo
(iH)(iH)=H.
Isto mostra que iH é de ordem 2 no quociente (ou seja, é seu próprio inverso).

Passo 7

Montar a tábua do grupo quociente com as quatro multiplicações que já calculamos.
Colocando as classes H e iH como linhas e colunas, a tábua é:
\begin{array}{c|cc} & H & iH \\\ \hline H & H & iH \\\ iH & iH & H \end{array}
Explicação rápida: cada entrada foi obtida conforme os passos anteriores:
  • H\cdot H=H
  • H\cdot iH=iH
  • iH\cdot H=iH
  • iH\cdot iH=H
Também podemos comentar que este grupo quociente tem ordem 2 e é isomorfo ao grupo cíclico \mathbb{Z}_2.

Resposta

\begin{array}{c|cc} & H & iH \\\ \hline H & H & iH \\\ iH & iH & H \end{array}

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