Sejam
o grupo multiplicativo e Abeliano e um subgrupo normal
. Construa a Tábua do grupo quociente
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede algo bem concreto.
- Dados:
-
é um grupo multiplicativo e abeliano (os elementos são os números complexos com multiplicação). -
é um subgrupo de e é normal (isso já foi afirmado no enunciado).
-
- Pedido:
- Construir a tábua (cayley table) do grupo quociente
, cujo conjunto de elementos foi indicado como .
- Construir a tábua (cayley table) do grupo quociente
Observação: aqui cada elemento de
é uma classe lateral (coseto) de
em
:
é a classe do elemento
e
é a classe do elemento
. A resolução começa agora.
Passo 2
Calcular explicitamente as classes laterais (cosetos) que aparecem em
.
- A classe
é
- A classe
é obtida multiplicando cada elemento de por :
Portanto realmente
com
e
.
Passo 3
Explicar como se multiplica elementos no quociente
e por que a multiplicação é bem-definida.
- Regra de multiplicação de cosetos: para quaisquer
define-se
Aqui
e
são representantes das classes; o resultado é a classe do produto
.
- Por que isso é bem-definido? Significa que a escolha de representantes não altera a classe resultante. Uma razão simples: como
é abeliano, todo subgrupo é normal, então para todo , e a multiplicação acima fornece uma operação consistente em . (Se não fosse normal, a operação poderia não ser bem-definida.)
Passo 4
Calcular
.
Use a regra com representantes: escolher
e
,
Logo o produto
é
. Isso também reflete que
é a classe identidade do quociente.
Passo 5
Calcular
e
.
- Usando representante
para e para ,
- Como o grupo quociente herda a abelianidade (já que
é abeliano), mas mesmo sem usar isso, usando representantes para e ,
Portanto
é elemento neutro e
.
Passo 6
Calcular
.
Escolha
como representante de cada classe:
Lembrando que
, obtemos
Mas
, então a classe
é a mesma que
. Logo
Isto mostra que
é de ordem
no quociente (ou seja, é seu próprio inverso).
Passo 7
Montar a tábua do grupo quociente com as quatro multiplicações que já calculamos.
Colocando as classes
e
como linhas e colunas, a tábua é:
Explicação rápida: cada entrada foi obtida conforme os passos anteriores:
Também podemos comentar que este grupo quociente tem ordem
e é isomorfo ao grupo cíclico
.