Seja x_{n} o número máximo de regiões em que n círculos podem dividir o plano. Caracterize x_{n} recursivamente.

Passo 1

O enunciado pede: “Seja x_{n} o número máximo de regiões em que n círculos podem dividir o plano. Caracterize x_{n} recursivamente.”\n
Informações dadas (explícitas ou implícitas) que vamos usar:
  • Para cada n queremos o valor máximo possível de regiões geradas por n círculos no plano.
  • Podemos escolher a posição dos círculos para atingir esse máximo (ou seja, assumimos a configuração de “posição geral” que maximiza cortes).
  • Não há outras restrições fornecidas (por exemplo, coincidência de círculos ou tangência), então devemos considerar a situação que produz mais regiões.

Passo 2

Vamos entender o que significa “posição geral” e por que ela interessa.\n
Explicação didática: quando se pergunta pelo número máximo de regiões, a melhor estratégia é evitar coincidências que diminuam cortes. Portanto exigimos que:
  • Nenhum par de círculos seja coincidente (mesmo círculo).
  • Nenhuma tangência entre dois círculos (cada par que cruza deve cruzar em dois pontos distintos).
  • Não haja três (ou mais) círculos passando pelo mesmo ponto de interseção (ou seja, nenhuma interseção é comum a três círculos).
    Essas condições garantem que cada par de círculos contribui com o máximo de interseções possíveis e que as interseções são todas simples — isso normalmente maximiza o número de regiões.

Passo 3

Contagem do número máximo de pontos de interseção entre n círculos.\n
Observação e raciocínio: cada par de círculos pode intersectar em no máximo dois pontos distintos (ou zero, se não se cruzarem, mas para o máximo a gente deixa cruzar). O número de pares entre n círculos é \binom{n}{2}. Logo o número máximo total de pontos de interseção é
2\binom{n}{2}=2\cdot\frac{n(n-1)}{2}=n(n-1).
Esse número será útil para entender como cada círculo é dividido em arcos pelas interseções.

Passo 4

Como cresce o número de regiões quando adicionamos um círculo novo?\n
Estratégia didática: construa os círculos um a um. Seja x_k o número máximo de regiões com k círculos. Suponha que já temos k-1 círculos dispostos em posição geral, formando x_{k-1} regiões. Agora colocamos o k-ésimo círculo de modo a maximizar as novas regiões criadas.\n
Quantas vezes esse novo círculo corta os anteriores? Ele pode intersectar cada um dos k-1 círculos em até dois pontos, portanto o número máximo de pontos de interseção na nova circunferência é 2(k-1) (para k\ge 2). Esses pontos dividem a circunferência em certo número de arcos. Cada arco, ao ser desenhado sobre o plano, separa uma região antiga em duas — ou seja, cada arco aumenta o número de regiões em exatamente 1. (Intuição: a circunferência é uma curva fechada; cada vez que ela cruza um componente do arranjo anterior, cria um novo pedaço de curva que delimita uma nova região interna ao laço criado.)\n
Caso especial: para k=1 a primeira circunferência não encontra interseções, ela é uma curva fechada simples que divide o plano em 2 regiões (interior e exterior), ou seja, aumentou o número de regiões em 1 a partir de x_0=1. Para k\ge 2 o número de arcos (e portanto de novas regiões criadas) é exatamente 2(k-1).

Passo 5

Escrevendo a relação recursiva com base no passo anterior.\n
Para k\ge 2 temos que ao inserir o k-ésimo círculo o número de regiões aumenta em 2(k-1). Assim
x_k = x_{k-1} + 2(k-1),\qquad k\ge 2.
Precisamos ainda de uma condição inicial. Com zero círculos o plano é uma única região, então x_0=1. Com um círculo (caso k=1) passamos a ter x_1=2. Podemos então apresentar a recorrência com a condição inicial conveniente.

Passo 6

Resumo final e comentário.\n
A caracterização recursiva que responde ao enunciado é: para n\ge 2,
x_n = x_{n-1} + 2(n-1),
com condição inicial, por exemplo, x_1=2 (ou, alternativamente, x_0=1).\n
Dica amigável: se você quiser, a partir dessa recorrência também se obtém a forma fechada x_n=n(n-1)+2. Mas como a questão pediu recorrência, a fórmula recursiva acima é o que precisamos.

Resposta

x_1=2\n
x_n=x_{n-1}+2(n-1),\quad n\ge 2

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