Seja
o número máximo de regiões em que
círculos podem dividir o plano. Caracterize
recursivamente.
Passo 1
O enunciado pede: “Seja
o número máximo de regiões em que
círculos podem dividir o plano. Caracterize
recursivamente.”\n
Informações dadas (explícitas ou implícitas) que vamos usar:
Informações dadas (explícitas ou implícitas) que vamos usar:
- Para cada
queremos o valor máximo possível de regiões geradas por círculos no plano. - Podemos escolher a posição dos círculos para atingir esse máximo (ou seja, assumimos a configuração de “posição geral” que maximiza cortes).
- Não há outras restrições fornecidas (por exemplo, coincidência de círculos ou tangência), então devemos considerar a situação que produz mais regiões.
Passo 2
Vamos entender o que significa “posição geral” e por que ela interessa.\n
Explicação didática: quando se pergunta pelo número máximo de regiões, a melhor estratégia é evitar coincidências que diminuam cortes. Portanto exigimos que:
Explicação didática: quando se pergunta pelo número máximo de regiões, a melhor estratégia é evitar coincidências que diminuam cortes. Portanto exigimos que:
- Nenhum par de círculos seja coincidente (mesmo círculo).
- Nenhuma tangência entre dois círculos (cada par que cruza deve cruzar em dois pontos distintos).
- Não haja três (ou mais) círculos passando pelo mesmo ponto de interseção (ou seja, nenhuma interseção é comum a três círculos).
Essas condições garantem que cada par de círculos contribui com o máximo de interseções possíveis e que as interseções são todas simples — isso normalmente maximiza o número de regiões.
Passo 3
Contagem do número máximo de pontos de interseção entre
círculos.\n
Observação e raciocínio: cada par de círculos pode intersectar em no máximo dois pontos distintos (ou zero, se não se cruzarem, mas para o máximo a gente deixa cruzar). O número de pares entre círculos é
. Logo o número máximo total de pontos de interseção é
Observação e raciocínio: cada par de círculos pode intersectar em no máximo dois pontos distintos (ou zero, se não se cruzarem, mas para o máximo a gente deixa cruzar). O número de pares entre
Esse número será útil para entender como cada círculo é dividido em arcos pelas interseções.
Passo 4
Como cresce o número de regiões quando adicionamos um círculo novo?\n
Estratégia didática: construa os círculos um a um. Seja o número máximo de regiões com
círculos. Suponha que já temos
círculos dispostos em posição geral, formando
regiões. Agora colocamos o
-ésimo círculo de modo a maximizar as novas regiões criadas.\n
Quantas vezes esse novo círculo corta os anteriores? Ele pode intersectar cada um dos círculos em até dois pontos, portanto o número máximo de pontos de interseção na nova circunferência é
(para
). Esses pontos dividem a circunferência em certo número de arcos. Cada arco, ao ser desenhado sobre o plano, separa uma região antiga em duas — ou seja, cada arco aumenta o número de regiões em exatamente 1. (Intuição: a circunferência é uma curva fechada; cada vez que ela cruza um componente do arranjo anterior, cria um novo pedaço de curva que delimita uma nova região interna ao laço criado.)\n
Caso especial: para a primeira circunferência não encontra interseções, ela é uma curva fechada simples que divide o plano em 2 regiões (interior e exterior), ou seja, aumentou o número de regiões em
a partir de
. Para
o número de arcos (e portanto de novas regiões criadas) é exatamente
.
Estratégia didática: construa os círculos um a um. Seja
Quantas vezes esse novo círculo corta os anteriores? Ele pode intersectar cada um dos
Caso especial: para
Passo 5
Escrevendo a relação recursiva com base no passo anterior.\n
Para temos que ao inserir o
-ésimo círculo o número de regiões aumenta em
. Assim
Para
Precisamos ainda de uma condição inicial. Com zero círculos o plano é uma única região, então
. Com um círculo (caso
) passamos a ter
. Podemos então apresentar a recorrência com a condição inicial conveniente.
Passo 6
Resumo final e comentário.\n
A caracterização recursiva que responde ao enunciado é: para ,
A caracterização recursiva que responde ao enunciado é: para
com condição inicial, por exemplo,
(ou, alternativamente,
).\n
Dica amigável: se você quiser, a partir dessa recorrência também se obtém a forma fechada . Mas como a questão pediu recorrência, a fórmula recursiva acima é o que precisamos.
Dica amigável: se você quiser, a partir dessa recorrência também se obtém a forma fechada