1. Seja H um espaço vetorial real de dimensão finita, munido de produto interno \langle\cdot, \cdot\rangle. Seja
T: H \longrightarrow H
um operador linear autoadjunto, isto é,
\langle T(x), y\rangle=\langle x, T(y)\rangle, \quad \forall x, y \in H .
Mostre que existe uma base ortonormal de H formada por autovetores de T. Mais precisamente, prove que existem escalares reais
\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • H é um espaço vetorial real de dimensão finita, equipado com um produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle.
  • T: H\to H é linear e autoadjunto, isto é,
\langle T(x),y\rangle=\langle x,T(y)\rangle\quad\forall x,y\in H.
O que se pede: provar que existe uma base ortonormal de H formada por autovetores de T. Mais precisamente, mostrar que existem escalares reais \lambda_{1},\ldots,\lambda_{n} (onde n=\dim H) e um sistema ortonormal \{e_{1},\ldots,e_{n}\} tal que
T(e_{i})=\lambda_{i} e_{i},\qquad i=1,\ldots,n.

Passo 2

Estratégia escolhida (sem resolver de imediato): usar indução sobre n=\dim H. Para isso preciso de dois ingredientes principais:
  1. Provar que T tem pelo menos um autovalor real e um autovetor não-nulo.
  2. Mostrar que o subespaço ortogonal a esse autovetor é estável por T (isto é, T envia vetores ortogonais ao autovetor em vetores também ortogonais a ele). Assim poderei aplicar a hipótese de indução nesse subespaço de dimensão n-1.
Vou então executar: caso base n=1 (trivial), existência de um autovetor para começar a indução (fazer com o quociente de Rayleigh), invariância do ortogonal, e concluir por indução.

Passo 3

Base da indução: se \dim H=1 então qualquer operador linear em um espaço unidimensional age como multiplicação por um escalar, logo existe um autovetor não-nulo e a única (normalizada) base é ortonormal e formada por autovetor. Assim o caso n=1 está resolvido.

Passo 4

Existência de um autovalor real e autovetor não-nulo (método do quociente de Rayleigh).
Defina o quociente de Rayleigh para x\neq0 por
R(x)=\frac{\langle T(x),x\rangle}{\langle x,x\rangle}.
Explicação didática: R(x) é um número real (porque o produto interno é real) que mede, de forma normalizada, a “projeção” de T(x) em x. O conjunto \{x\in H:\langle x,x\rangle=1\} (a esfera unitária) é compacto pois H tem dimensão finita; como R é contínuo, R atinge um mínimo em algum u com \langle u,u\rangle=1. Defina
\lambda:=R(u)=\langle T(u),u\rangle.
Mostraremos que u é um autovetor com autovalor \lambda.

Passo 5

Derivação do fato de que o minimizador é autovetor (passo técnico com detalhes).
Como u minimiza R na esfera unitária, para qualquer y\in H e pequeno t\in\mathbb{R} devemos ter que a função
\varphi(t):=\langle T(u+t y),u+t y\rangle-\lambda\langle u+t y,u+t y\rangle
tem mínimo em t=0 (pois \varphi(0)=0 e \varphi(t)\ge 0 para t pequeno — isso decorre do fato de u minimizar R). Expanda \varphi(t):
\begin{aligned} \varphi(t)&=\langle T u,u\rangle+2t\langle T u,y\rangle+t^{2}\langle T y,y\rangle\\\ &\qquad -\lambda\big(\langle u,u\rangle+2t\langle u,y\rangle+t^{2}\langle y,y\rangle\big). \end{aligned}
Como \langle u,u\rangle=1 e \langle T u,u\rangle=\lambda, os termos constantes cancelam e o coeficiente linear em t é
2\big(\langle T u,y\rangle-\lambda\langle u,y\rangle\big).
Pelo fato de t=0 ser um mínimo, esse coeficiente linear deve ser zero para todo y. Portanto
\langle T u,y\rangle=\lambda\langle u,y\rangle\quad\forall y\in H.
Pela bilinearidade do produto interno, isto implica que o vetor T u-\lambda u é ortogonal a todo y\in H. O único vetor ortogonal a todos os vetores de H é o vetor nulo, logo
T u-\lambda u=0,
ou seja,
T(u)=\lambda u.
Assim u é um autovetor associado ao escalar \lambda. Observação importante: \lambda é real porque \lambda=\langle T u,u\rangle e produto interno real dá número real.

Passo 6

Mostrando que o subespaço ortogonal ao autovetor é estável por T.
Seja U=\operatorname{span}\{u\} e U^{\perp}=\{v\in H:\langle v,u\rangle=0\}. Tome v\in U^{\perp}. Então, usando que T é autoadjunto e que T(u)=\lambda u,
\langle T v,u\rangle=\langle v,T u\rangle=\langle v,\lambda u\rangle=\lambda\langle v,u\rangle=0.
Portanto T v\in U^{\perp}. Conclusão: U^{\perp} é invariável por T. Além disso, a restrição T|_{U^{\perp}} é autoadjunta em U^{\perp} porque, para v,w\in U^{\perp},
\langle T|_{U^{\perp}}(v),w\rangle=\langle T v,w\rangle=\langle v,T w\rangle=\langle v,T|_{U^{\perp}}(w)\rangle.

Passo 7

Hipótese de indução e conclusão.
Aplique a hipótese de indução ao espaço U^{\perp}, que tem dimensão n-1. Pela hipótese, existe uma base ortonormal \{e_{2},\ldots,e_{n}\} de U^{\perp} formada por autovetores de T|_{U^{\perp}}; escrevendo cada um como autovetor de T obtemos
T(e_{j})=\lambda_{j} e_{j},\qquad j=2,\ldots,n,
com \lambda_{j}\in\mathbb{R}. Juntando e_{1}:=u (normalizado, pois tomamos \langle u,u\rangle=1) com \{e_{2},\ldots,e_{n}\} obtemos um conjunto ortonormal de n vetores em H. Como são n vetores ortonormais em espaço de dimensão n, formam uma base ortonormal de H. Além disso cada e_{i} é autovetor de T com autovalor real \lambda_{i}.

Passo 8

Resumo e observações finais (didáticas e motivadoras).
  • Conseguimos construir por indução uma base ortonormal \{e_{1},\dots,e_{n}\} de H tal que T(e_{i})=\lambda_{i}e_{i} com \lambda_{i}\in\mathbb{R}.
  • Em linguagem de matrizes: na base ortonormal encontrada, a matriz de T é diagonal real, com entradas diagonais \lambda_{1},\dots,\lambda_{n}. Isso é a forma concreta do que se costuma chamar de “teorema espectral” no caso real e finito.
  • Dica prática para provas: a ideia chave é sempre obter um primeiro autovetor através do quociente de Rayleigh (mínimo ou máximo na esfera unitária) e então restringir o operador ao ortogonal desse autovetor.

Resposta

Existem escalares reais \lambda_{1},\ldots,\lambda_{n} e uma base ortonormal \{e_{1},\ldots,e_{n}\} de H tal que
T(e_{i})=\lambda_{i}\,e_{i},\qquad i=1,\ldots,n.

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