- Seja
um espaço vetorial real de dimensão finita, munido de produto interno
. Seja
um operador linear autoadjunto, isto é,
Mostre que existe uma base ortonormal de
formada por autovetores de
. Mais precisamente, prove que existem escalares reais
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é um espaço vetorial real de dimensão finita, equipado com um produto interno . -
é linear e autoadjunto, isto é,
O que se pede: provar que existe uma base ortonormal de
formada por autovetores de
. Mais precisamente, mostrar que existem escalares reais
(onde
) e um sistema ortonormal
tal que
Passo 2
Estratégia escolhida (sem resolver de imediato): usar indução sobre
. Para isso preciso de dois ingredientes principais:
- Provar que
tem pelo menos um autovalor real e um autovetor não-nulo. - Mostrar que o subespaço ortogonal a esse autovetor é estável por
(isto é, envia vetores ortogonais ao autovetor em vetores também ortogonais a ele). Assim poderei aplicar a hipótese de indução nesse subespaço de dimensão .
Vou então executar: caso base
(trivial), existência de um autovetor para começar a indução (fazer com o quociente de Rayleigh), invariância do ortogonal, e concluir por indução.
Passo 3
Base da indução: se
então qualquer operador linear em um espaço unidimensional age como multiplicação por um escalar, logo existe um autovetor não-nulo e a única (normalizada) base é ortonormal e formada por autovetor. Assim o caso
está resolvido.
Passo 4
Existência de um autovalor real e autovetor não-nulo (método do quociente de Rayleigh).
Defina o quociente de Rayleigh para por
Defina o quociente de Rayleigh para
Explicação didática:
é um número real (porque o produto interno é real) que mede, de forma normalizada, a “projeção” de
em
. O conjunto
(a esfera unitária) é compacto pois
tem dimensão finita; como
é contínuo,
atinge um mínimo em algum
com
. Defina
Mostraremos que
é um autovetor com autovalor
.
Passo 5
Derivação do fato de que o minimizador é autovetor (passo técnico com detalhes).
Como minimiza
na esfera unitária, para qualquer
e pequeno
devemos ter que a função
Como
tem mínimo em
(pois
e
para
pequeno — isso decorre do fato de
minimizar
). Expanda
:
Como
e
, os termos constantes cancelam e o coeficiente linear em
é
Pelo fato de
ser um mínimo, esse coeficiente linear deve ser zero para todo
. Portanto
Pela bilinearidade do produto interno, isto implica que o vetor
é ortogonal a todo
. O único vetor ortogonal a todos os vetores de
é o vetor nulo, logo
ou seja,
Assim
é um autovetor associado ao escalar
. Observação importante:
é real porque
e produto interno real dá número real.
Passo 6
Mostrando que o subespaço ortogonal ao autovetor é estável por
.
Seja e
. Tome
. Então, usando que
é autoadjunto e que
,
Seja
Portanto
. Conclusão:
é invariável por
. Além disso, a restrição
é autoadjunta em
porque, para
,
Passo 7
Hipótese de indução e conclusão.
Aplique a hipótese de indução ao espaço , que tem dimensão
. Pela hipótese, existe uma base ortonormal
de
formada por autovetores de
; escrevendo cada um como autovetor de
obtemos
Aplique a hipótese de indução ao espaço
com
. Juntando
(normalizado, pois tomamos
) com
obtemos um conjunto ortonormal de
vetores em
. Como são
vetores ortonormais em espaço de dimensão
, formam uma base ortonormal de
. Além disso cada
é autovetor de
com autovalor real
.
Passo 8
Resumo e observações finais (didáticas e motivadoras).
- Conseguimos construir por indução uma base ortonormal
de tal que com . - Em linguagem de matrizes: na base ortonormal encontrada, a matriz de
é diagonal real, com entradas diagonais . Isso é a forma concreta do que se costuma chamar de “teorema espectral” no caso real e finito. - Dica prática para provas: a ideia chave é sempre obter um primeiro autovetor através do quociente de Rayleigh (mínimo ou máximo na esfera unitária) e então restringir o operador ao ortogonal desse autovetor.
Resposta
Existem escalares reais
e uma base ortonormal
de
tal que