Dada A \in L\left(\mathbb{R}^{m}, \mathbb{R}^{n}\right), defina sua adjunta A^{*} \in L\left(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m}\right) pela condição
\langle A \cdot v, w\rangle=\left\langle v, A^{*} \cdot w\right\rangle \quad \forall v \in \mathbb{R}^{m} \quad \text { e } \quad \forall w \in \mathbb{R}^{n} .
Introduza um produto interno em L\left(\mathbb{R}^{m}, \mathbb{R}^{n}\right) definindo \langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(A^{*} B\right), onde tr significa o traço.Conclua que \|A\|=\sqrt{\operatorname{tr}\left(A^{*} A\right)} é uma norma em L\left(\mathbb{R}^{m}, \mathbb{R}^{n}\right). Mostre que, para todo v \in \mathbb{R}^{m}, tem-se
|A \cdot v| \leq\|A\| \cdot|v|,
onde |\cdot| indica a norma proveniente do produto interno natural.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
Temos A\in L(\mathbb{R}^{m},\mathbb{R}^{n}). A adjunta A^{*}\in L(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m}) é definida por
onde \operatorname{tr} é o traço de uma transformação linear (traço de uma matriz quando escolhemos bases ortonormais).
O enunciado pede:
Concluir que \|A\|=\sqrt{\operatorname{tr}\!\left(A^{*}A\right)} é uma norma em L(\mathbb{R}^{m},\mathbb{R}^{n}).
Mostrar que, para todo v\in\mathbb{R}^{m},
|A\cdot v|\le \|A\|\cdot |v|,
onde |\cdot| é a norma euclidiana em \mathbb{R}^{m} ou \mathbb{R}^{n}.
Passo 2
Mostrar que \langle A,B\rangle=\operatorname{tr}\!\left(A^{*}B\right) de fato define um produto interno (ou seja, é bilinear, simétrico e definido positivo).
Linearidade no primeiro argumento: para escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} e A,C,B em L(\mathbb{R}^{m},\mathbb{R}^{n}),
Mas \operatorname{tr}(BA^{*}) é a mesma quantidade que \operatorname{tr}(B^{*}A) quando trabalhamos sobre \mathbb{R} e usando transpostas em bases ortonormais; de forma direta e mais simples, escrevendo em matrizes em bases ortonormais (onde a adjunta é a transposta), temos
portanto \langle A,B\rangle=\langle B,A\rangle. (Isto usa a invariância do traço e que a adjunta em bases ortonormais é a transposta.)
Definida positiva: calculemos \langle A,A\rangle=\operatorname{tr}(A^{*}A). Se escolhemos uma base ortonormal de \mathbb{R}^{m} e representamos A por matriz (a_{ij}) (uma matriz n\times m), então A^{*}A é uma matriz m\times m e
Essa soma de quadrados é zero se, e somente se, todos os a_{ij}=0, i.e. A=0. Logo \langle A,A\rangle>0 para A\neq 0. Assim o produto interno é definido-positivo.
Portanto \langle\cdot,\cdot\rangle é um produto interno em L(\mathbb{R}^{m},\mathbb{R}^{n}).
Passo 3
Definir a norma induzida por esse produto interno e verificar as propriedades básicas de norma (positividade, homogeneidade e desigualdade triangular), lembrando a relação com o produto interno.
A norma induzida por um produto interno é dada por
Desigualdade triangular: vale em qualquer espaço com produto interno a desigualdade
\|A+C\|\le \|A\|+\|C\|.
A demonstração padrão depende da desigualdade de Cauchy–Schwarz no espaço com produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle. Assim resta provar Cauchy–Schwarz aqui se quisermos justificar completamente a triangular.
Passo 4
Provar a desigualdade de Cauchy–Schwarz para este produto interno: para quaisquer X,Y\in L(\mathbb{R}^{m},\mathbb{R}^{n}),
Prova padrão (muito usada em prova de normas):
considere a função real t\mapsto \langle X-tY, X-tY\rangle. Como é o valor do produto interno de um vetor consigo mesmo, tem que ser \ge 0 para todo t\in\mathbb{R}. Expandindo,
Tomando raiz positiva, \|A+C\|\le \|A\|+\|C\|. Assim \|\cdot\| satisfaz a desigualdade triangular.
Portanto \|A\|=\sqrt{\operatorname{tr}(A^{*}A)} é de fato uma norma em L(\mathbb{R}^{m},\mathbb{R}^{n}).
Passo 5
Agora mostraremos a desigualdade desejada |A\cdot v|\le \|A\|\cdot|v| para todo v\in\mathbb{R}^{m}. Vou apresentar uma prova direta e elementar que funciona sem sair muito do nível calculacional.
Escolha uma base ortonormal \{e_{1},\dots,e_{m}\} de \mathbb{R}^{m}. Qualquer vetor v\in\mathbb{R}^{m} pode ser escrito como
v=\sum_{j=1}^{m} v_{j} e_{j},
onde v_{j}=\langle v,e_{j}\rangle e |v|^{2}=\sum_{j=1}^{m} v_{j}^{2}.
Aplicando A temos, por linearidade,
A v=\sum_{j=1}^{m} v_{j}\,A e_{j}.
Agora usamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz para somas finitas (a versão para somas escalares-vetoriais): para vetores u_{j} e escalares v_{j},
Isso completa a demonstração da desigualdade desejada.
Passo 6
Resumo/observações finais e motivação intuitiva (rápida e amiga):
A quantidade \|A\|=\sqrt{\operatorname{tr}(A^{*}A)} é a norma de Frobenius (ou Hilbert–Schmidt) de A: é a raiz da soma dos quadrados das entradas da matriz de A em quaisquer bases ortonormais. Por isso é obviamente não negativa, homogênea e satisfaz a desigualdade triangular (porque vem de um produto interno).
A desigualdade |A v|\le \|A\|\,|v| diz que a norma de Frobenius domina a ação de A sobre vetores unitários; intuitivamente, \|A\| controla o “tamanho médio” das colunas de A, e multiplicando por |v| obtemos um limite para |Av|.
Resposta
\|A\|=\sqrt{\operatorname{tr}\!\left(A^{*}A\right)} é uma norma em L(\mathbb{R}^{m},\mathbb{R}^{n}).\n|A\cdot v|\le \|A\|\cdot|v| para todo v\in\mathbb{R}^{m}.