Justıtique cuıdadosamente onde cada hıpōtese e utılızada!! Durante a apresentação poderão ser feitas perguntas adicionais sobre definições, hipóteses e resultados utilizados.
  1. Seja E e F espaços normados e T: E \rightarrow F linear e contínuo. Mostre que
\|T\|=\sup _{x \neq 0} \frac{\|T(x)\|}{\|x\|}=\sup _{\|x\|=1}\|T(x)\|=\sup _{\|x\|<1}\|T(x)\|
e também que
\|T\|=\inf \{C:\|T(x)\| \leq C\|x\|, \forall x \in E\} .
Por fim Prove que a aplicação T \mapsto\|T\| define uma norma em L(E, F).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tirei todas as informações do próprio enunciado).
  • Dados:
    • E e F são espaços normados (ou seja, em cada um há uma função \|\cdot\| que satisfaz as propriedades de norma).
    • T: E\to F é linear e contínua.
  • Objetivos (o que o enunciado pede):
    1. Mostrar que \|T\|=\sup_{x\neq 0}\frac{\|T(x)\|}{\|x\|} =\sup_{\|x\|=1}\|T(x)\| =\sup_{\|x\|<1}\|T(x)\|.(Aqui \|T\| é a norma do operador que queremos caracterizar.)
    2. Mostrar também que \|T\|=\inf\{C:\|T(x)\|\le C\|x\|,\\ \forall x\in E\}.
    3. Provar que a aplicação T\mapsto\|T\| define uma norma em L(E,F) (espaço das aplicações lineares contínuas de E em F).
  • Observações úteis sobre notação:
    • \sup significa supremo (menor limite superior).
    • \inf significa ínfimo (maior limite inferior).
    • Sempre que eu usar que \|x\|=1 vou dizer “vetor da esfera unitária”; \|x\|<1 é bola aberta unitária.
Não vou resolver ainda; a próxima etapa começa a prova efetiva.

Passo 2

Primeira igualdade: mostrar que
\sup_{x\neq 0}\frac{\|T(x)\|}{\|x\|} =\sup_{\|x\|=1}\|T(x)\|.
Prova (passo a passo, usando linearidade):
  • Tome um vetor x\in E com x\neq 0. Defina y=\dfrac{x}{\|x\|}. Então \|y\|=1.
  • Pela linearidade de T temos T(x)=T(\|x\|y)=\|x\|\,T(y).Isso implica \frac{\|T(x)\|}{\|x\|}=\|T(y)\|.
  • Assim, para cada x\neq 0 existe um y com \|y\|=1 tal que o quociente \dfrac{\|T(x)\|}{\|x\|} é exatamente \|T(y)\|. Daí \sup_{x\neq 0}\frac{\|T(x)\|}{\|x\|} \le \sup_{\|x\|=1}\|T(x)\|.
  • Inversamente, para cada y com \|y\|=1 basta escolher x=y (que é \neq 0) para ver que \|T(y)\| aparece na coleção \{\|T(x)\|/\|x\|: x\neq0\}. Logo \sup_{\|x\|=1}\|T(x)\| \le \sup_{x\neq 0}\frac{\|T(x)\|}{\|x\|}.
  • Concluímos a igualdade desejada. Observação: aqui usei essencialmente a linearidade de T e a propriedade de homogeneidade da norma (escalamento por \|x\|).

Passo 3

Igualando a esfera com a bola aberta:
\sup_{\|x\|=1}\|T(x)\|=\sup_{\|x\|<1}\|T(x)\|.
Prova (duas desigualdades, usando linearidade e uma passagem limite):
  • Para mostrar \sup_{\|x\|<1}\|T(x)\|\le \sup_{\|x\|=1}\|T(x)\|:
    • Seja x com \|x\|<1. Escreva x=r y com r=\|x\|\in(0,1) e y=x/\|x\| tal que \|y\|=1.
    • Pela linearidade T(x)=r T(y), então \|T(x)\|=r\|T(y)\|\le \|T(y)\|.
    • Tomando supremo sobre todos x com \|x\|<1 obtemos a desigualdade.
  • Para a desigualdade inversa \sup_{\|x\|<1}\|T(x)\|\ge \sup_{\|x\|=1}\|T(x)\|:
    • Para cada y com \|y\|=1 e para cada r\in(0,1) temos \|T(r y)\|=r\|T(y)\|.
    • Assim r\|T(y)\|\le \sup_{\|x\|<1}\|T(x)\| para todo r\in(0,1). Fazendo r\to 1^- (aproximação por dentro da bola) obtemos \|T(y)\|\le \sup_{\|x\|<1}\|T(x)\|.
    • Tomando supremo sobre y com \|y\|=1 segue a desigualdade desejada.
  • Conclusão: as duas quantidades são iguais. Neste passo usei linearidade para a decomposição x=r y e a homogeneidade do operador.

Passo 4

Garantir que as quantidades são finitas (onde usamos a hipótese de continuidade) e provar a igualdade com o ínfimo:
\|T\|=\inf\{C:\|T(x)\|\le C\|x\|,\\ \forall x\in E\}.
Primeiro mostro que continuidade + linearidade implica existência de uma constante C tal que \|T(x)\|\le C\|x\| para todo x (i.e., T é limitada / bounded). Esse é o ponto em que a hipótese de continuidade é crucial — sem continuidade o sup pode ser +\infty.
Prova da existência de C (linearidade + continuidade):
  • Como T é contínua em 0 (continuidade em um ponto para operador linear segue da continuidade global), existe \delta>0 tal que, por exemplo, \|x\|<\delta \quad\Rightarrow\quad \|T(x)\|<1.
  • Dado x\in E, se x=0 a desigualdade é trivial. Se x\neq 0, defina y=\frac{\delta}{2}\,\frac{x}{\|x\|}.Então \|y\|=\delta/2<\delta, logo \|T(y)\|<1.
  • Mas x=\dfrac{2\|x\|}{\delta}\,y. Pela linearidade, \|T(x)\|=\frac{2\|x\|}{\delta}\,\|T(y)\| \le \frac{2\|x\|}{\delta}\cdot 1=\frac{2}{\delta}\,\|x\|.
  • Assim podemos escolher C=\dfrac{2}{\delta} e obter \|T(x)\|\le C\|x\| para todo x. Concluí que a coleção \{C:\|T(x)\|\le C\|x\|,\\ \forall x\} não é vazia e, em particular, o supro mencionado antes é finito.
  • Observação didática: esse argumento é padrão e mostra a equivalência (para operadores lineares) entre continuidade e existência de uma constante de crescimento linear uniforme.
Agora a igualdade com o ínfimo:
  • Defina S:=\{C\in\mathbb{R}:\|T(x)\|\le C\|x\|,\\ \forall x\in E\}.Pelo parágrafo anterior S é não vazio e contém apenas números \ge 0. Seja \alpha:=\inf S.
  • Mostro que \alpha=\sup_{\|x\|=1}\|T(x)\| (que já identifiquei com as outras expressões):
    • Para qualquer C\in S e para qualquer x com \|x\|=1 temos \|T(x)\|\le C. Tomando supremo sobre \|x\|=1 obtemos \sup_{\|x\|=1}\|T(x)\|\le C.Como isso vale para todo C\in S, temos \sup_{\|x\|=1}\|T(x)\|\le \inf S=\alpha.
    • Para a desigualdade oposta, seja \beta:=\sup_{\|x\|=1}\|T(x)\|. Para qualquer \varepsilon>0 considere C=\beta+\varepsilon. Para todo x\neq 0, escrevendo y=x/\|x\| (com \|y\|=1) obtemos \|T(x)\|=\|x\|\|T(y)\|\le \|x\|\beta < \|x\|(\beta+\varepsilon)=C\|x\|.Isso mostra que C\in S. Como isso vale para todo \varepsilon>0, temos \alpha=\inf S\le \beta.
    • Combinando as duas desigualdades obtemos \alpha=\beta, ou seja \inf\{C:\|T(x)\|\le C\|x\|,\\ \forall x\}=\sup_{\|x\|=1}\|T(x)\|.
  • Portanto a norma do operador (definida pela sup sobre a esfera / bola) coincide com esse ínfimo.

Passo 5

Mostro agora que T\mapsto\|T\| define uma norma em L(E,F). Lembre-se: L(E,F) é o conjunto das aplicações lineares contínuas E\to F. Para ser norma, uma aplicação N deve satisfazer: (i) N(T)\ge 0 e N(T)=0\iff T=0; (ii) N(\lambda T)=|\lambda|N(T) para todo escalar \lambda; (iii) N(T+S)\le N(T)+N(S).
Provas das três propriedades (detalhadas):
  • (i) Não negatividade e definitude:
    • Por definição \|T\|=\sup_{\|x\|=1}\|T(x)\| e cada \|T(x)\|\ge 0, logo \|T\|\ge 0.
    • Se \|T\|=0, então para todo x com \|x\|=1 tem \|T(x)\|=0. Para x=0 a imagem é 0 trivialmente. Para x arbitrário, x=\|x\|(x/\|x\|) e por linearidade \|T(x)\|=\|x\|\,\|T(x/\|x\|)\|=0. Assim T(x)=0 para todo x, isto é, T é a aplicação zero. Recíproco claro: se T=0 então \|T\|=0.
  • (ii) Homogeneidade:
    • Para escalar \lambda e para \|x\|=1, \|(\lambda T)(x)\|=\|\lambda T(x)\|=|\lambda|\,\|T(x)\|.Tomando supremo sobre \|x\|=1 resulta \|\lambda T\|=|\lambda|\,\|T\|.
  • (iii) Desigualdade triangular:
    • Para \|x\|=1 aplicando a desigualdade triangular em F (porque F é espaço normado) obtemos \|(T+S)(x)\|=\|T(x)+S(x)\|\le \|T(x)\|+\|S(x)\|\le \|T\|+\|S\|.
    • Tomando supremo sobre \|x\|=1 obtemos \|T+S\|\le \|T\|+\|S\|.
  • Assim todas as propriedades de norma são verificadas e T\mapsto\|T\| é uma norma em L(E,F).

Passo 6

Resumo das hipóteses e onde cada uma foi usada (resposta exigida explicitamente no enunciado: “Justifique cuidadosamente onde cada hipótese é utilizada”):
  • Hipótese " E e F são espaços normados":
    • Usada sempre; precisamos da noção de \|x\| em E e de \|T(x)\| em F, bem como das propriedades da norma em F (por exemplo desigualdade triangular em F foi usada na prova da desigualdade triangular para \|T+S\|).
    • A propriedade de homogeneidade da norma em E (i.e., \|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|) foi usada para reduzir supremo sobre x\neq0 ao caso \|x\|=1.
  • Hipótese " T é linear":
    • Fundamental em vários passos. Especificamente:
      • Para escrever T(\lambda x)=\lambda T(x) e assim transformar \dfrac{\|T(x)\|}{\|x\|} em \|T(x/\|x\|)\| e para usar a decomposição x=r y com \|y\|=1.
      • Para a prova de que continuidade em 0 implica uma desigualdade global \|T(x)\|\le C\|x\| (usamos linearidade ao escalar um vetor pequeno para obter um vetor arbitrário).
      • Para mostrar homogeneidade da norma do operador.
  • Hipótese " T é contínuo":
    • Utilizada para garantir que o supremo considerado é finito (i.e., T é limitada / bounded). Mais precisamente:
      • Continuidade em 0 deu um \delta>0 tal que \|x\|<\delta\Longrightarrow\|T(x)\|<1. A partir disso, usando linearidade, deduzimos uma constante C tal que \|T(x)\|\le C\|x\| para todo x. Isso assegura que o conjunto de constantes C que dominam T é não vazio e que \|T\| (o sup) é finito.
      • Sem continuidade (nem boundedness) o sup poderia ser +\infty e a igualdade com o ínfimo poderia tornar-se formalmente verdadeira mas sem interesse prático; para termos uma norma finita em L(E,F) precisamos de operadores contínuos.
  • Observação final: a equivalência linearidade + continuidade ↔ existência de C tal que \|T(x)\|\le C\|x\| foi explicitamente demonstrada acima; essa equivalência é exatamente o que faz a norma do operador ser bem definida e finita.

Resposta

\displaystyle \|T\|=\sup_{x\neq 0}\frac{\|T(x)\|}{\|x\|} =\sup_{\|x\|=1}\|T(x)\| =\sup_{\|x\|<1}\|T(x)\|
\displaystyle \|T\|=\inf\{C:\|T(x)\|\le C\|x\|,\\ \forall x\in E\}
A aplicação T\mapsto\|T\| é uma norma em L(E,F).

Exercícios relacionados