Justıtique cuıdadosamente onde cada hıpōtese e utılızada!! Durante a apresentação poderão ser feitas perguntas adicionais sobre definições, hipóteses e resultados utilizados.
- Seja
e
espaços normados e
linear e contínuo. Mostre que
e também que
Por fim Prove que a aplicação
define uma norma em
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tirei todas as informações do próprio enunciado).
- Dados:
-
e são espaços normados (ou seja, em cada um há uma função que satisfaz as propriedades de norma). -
é linear e contínua.
-
- Objetivos (o que o enunciado pede):
- Mostrar que
(Aqui é a norma do operador que queremos caracterizar.) - Mostrar também que
- Provar que a aplicação
define uma norma em (espaço das aplicações lineares contínuas de em ).
- Mostrar que
- Observações úteis sobre notação:
-
significa supremo (menor limite superior). -
significa ínfimo (maior limite inferior). - Sempre que eu usar que
vou dizer “vetor da esfera unitária”; é bola aberta unitária.
-
Não vou resolver ainda; a próxima etapa começa a prova efetiva.
Passo 2
Primeira igualdade: mostrar que
Prova (passo a passo, usando linearidade):
- Tome um vetor
com . Defina . Então . - Pela linearidade de
temos Isso implica - Assim, para cada
existe um com tal que o quociente é exatamente . Daí - Inversamente, para cada
com basta escolher (que é ) para ver que aparece na coleção . Logo - Concluímos a igualdade desejada. Observação: aqui usei essencialmente a linearidade de
e a propriedade de homogeneidade da norma (escalamento por ).
Passo 3
Igualando a esfera com a bola aberta:
Prova (duas desigualdades, usando linearidade e uma passagem limite):
- Para mostrar
: - Seja
com . Escreva com e tal que . - Pela linearidade
, então . - Tomando supremo sobre todos
com obtemos a desigualdade.
- Seja
- Para a desigualdade inversa
: - Para cada
com e para cada temos . - Assim
para todo . Fazendo (aproximação por dentro da bola) obtemos . - Tomando supremo sobre
com segue a desigualdade desejada.
- Para cada
- Conclusão: as duas quantidades são iguais. Neste passo usei linearidade para a decomposição
e a homogeneidade do operador.
Passo 4
Garantir que as quantidades são finitas (onde usamos a hipótese de continuidade) e provar a igualdade com o ínfimo:
Primeiro mostro que continuidade + linearidade implica existência de uma constante
tal que
para todo
(i.e.,
é limitada / bounded). Esse é o ponto em que a hipótese de continuidade é crucial — sem continuidade o sup pode ser
.
Prova da existência de
(linearidade + continuidade):
- Como
é contínua em (continuidade em um ponto para operador linear segue da continuidade global), existe tal que, por exemplo, - Dado
, se a desigualdade é trivial. Se , defina Então , logo . - Mas
. Pela linearidade, - Assim podemos escolher
e obter para todo . Concluí que a coleção não é vazia e, em particular, o supro mencionado antes é finito. - Observação didática: esse argumento é padrão e mostra a equivalência (para operadores lineares) entre continuidade e existência de uma constante de crescimento linear uniforme.
Agora a igualdade com o ínfimo:
- Defina
Pelo parágrafo anterior é não vazio e contém apenas números . Seja . - Mostro que
(que já identifiquei com as outras expressões): - Para qualquer
e para qualquer com temos . Tomando supremo sobre obtemos Como isso vale para todo , temos - Para a desigualdade oposta, seja
. Para qualquer considere . Para todo , escrevendo (com ) obtemos Isso mostra que . Como isso vale para todo , temos . - Combinando as duas desigualdades obtemos
, ou seja
- Para qualquer
- Portanto a norma do operador (definida pela sup sobre a esfera / bola) coincide com esse ínfimo.
Passo 5
Mostro agora que
define uma norma em
. Lembre-se:
é o conjunto das aplicações lineares contínuas
. Para ser norma, uma aplicação
deve satisfazer: (i)
e
; (ii)
para todo escalar
; (iii)
.
Provas das três propriedades (detalhadas):
- (i) Não negatividade e definitude:
- Por definição
e cada , logo . - Se
, então para todo com tem . Para a imagem é trivialmente. Para arbitrário, e por linearidade . Assim para todo , isto é, é a aplicação zero. Recíproco claro: se então .
- Por definição
- (ii) Homogeneidade:
- Para escalar
e para , Tomando supremo sobre resulta
- Para escalar
- (iii) Desigualdade triangular:
- Para
aplicando a desigualdade triangular em (porque é espaço normado) obtemos - Tomando supremo sobre
obtemos
- Para
- Assim todas as propriedades de norma são verificadas e
é uma norma em .
Passo 6
Resumo das hipóteses e onde cada uma foi usada (resposta exigida explicitamente no enunciado: “Justifique cuidadosamente onde cada hipótese é utilizada”):
- Hipótese "
e são espaços normados": - Usada sempre; precisamos da noção de
em e de em , bem como das propriedades da norma em (por exemplo desigualdade triangular em foi usada na prova da desigualdade triangular para ). - A propriedade de homogeneidade da norma em
(i.e., ) foi usada para reduzir supremo sobre ao caso .
- Usada sempre; precisamos da noção de
- Hipótese "
é linear": - Fundamental em vários passos. Especificamente:
- Para escrever
e assim transformar em e para usar a decomposição com . - Para a prova de que continuidade em
implica uma desigualdade global (usamos linearidade ao escalar um vetor pequeno para obter um vetor arbitrário). - Para mostrar homogeneidade da norma do operador.
- Para escrever
- Fundamental em vários passos. Especificamente:
- Hipótese "
é contínuo": - Utilizada para garantir que o supremo considerado é finito (i.e.,
é limitada / bounded). Mais precisamente: - Continuidade em
deu um tal que . A partir disso, usando linearidade, deduzimos uma constante tal que para todo . Isso assegura que o conjunto de constantes que dominam é não vazio e que (o sup) é finito. - Sem continuidade (nem boundedness) o sup poderia ser
e a igualdade com o ínfimo poderia tornar-se formalmente verdadeira mas sem interesse prático; para termos uma norma finita em precisamos de operadores contínuos.
- Continuidade em
- Utilizada para garantir que o supremo considerado é finito (i.e.,
- Observação final: a equivalência linearidade + continuidade ↔ existência de
tal que foi explicitamente demonstrada acima; essa equivalência é exatamente o que faz a norma do operador ser bem definida e finita.
Resposta
A aplicação