Seja
uma transformação linear injetora. Mostre que
tem um subespaço isomorfo a
.
Passo 1
O enunciado afirma que temos uma transformação linear injetora
entre espaços vetoriais
e
. Queremos mostrar que existe em
um subespaço que seja isomorfo a
. Para isso vamos usar que a imagem de
é subespaço de
e que, restringindo o domínio a
e o contradomínio à imagem,
se torna bijetora, o que caracteriza um isomorfismo.
Passo 2
Defina o conjunto
Para ver que
é um subespaço de
, notamos que:
.
.
. Se
e
estão em
e
são escalares, então
Logo,
é fechado sob soma e multiplicação por escalar.
Passo 3
Considere agora a aplicação
ou seja, o mesmo
visto como mapa de
sobre seu próprio conjunto imagem. Por construção \emph{todo} elemento de
é de fato
para algum
, portanto
é sobrejetora quando o contradomínio é
. Como dado no enunciado
é injetora, concluímos que esta restrição de
é bijetora.
Passo 4
Sabendo que
é linear (herdada de
) e bijetora, segue que
é um isomorfismo de espaços vetoriais de
sobre
. Portanto
é um subespaço de
isomorfo a
.
Resposta
O subespaço de
isomorfo a
é
.