Seja T: U V uma transformação linear injetora. Mostre que V tem um subespaço isomorfo a U.

Passo 1

O enunciado afirma que temos uma transformação linear injetora
T:Uto V
entre espaços vetoriais U e V. Queremos mostrar que existe em V um subespaço que seja isomorfo a U. Para isso vamos usar que a imagem de T é subespaço de V e que, restringindo o domínio a U e o contradomínio à imagem, T se torna bijetora, o que caracteriza um isomorfismo.

Passo 2

Defina o conjunto
W = Im(T) = ,T(u)mid uin Usubseteq V
Para ver que W é um subespaço de V, notamos que:
1. 0V = T(0U)in W.
2. Se w1=T(u1) e w2=T(u2) estão em W e alpha,beta são escalares, então
alpha w1 + beta w2 = alpha T(u1) + beta T(u2) = T(alpha u1 + beta u2)in W
Logo, W é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 3

Considere agora a aplicação
Tcolon U longrightarrow W,
ou seja, o mesmo T visto como mapa de U sobre seu próprio conjunto imagem. Por construção \emph{todo} elemento de W é de fato T(u) para algum uin U, portanto T é sobrejetora quando o contradomínio é W. Como dado no enunciado T é injetora, concluímos que esta restrição de T é bijetora.

Passo 4

Sabendo que T:Uto W é linear (herdada de T:Uto V) e bijetora, segue que T é um isomorfismo de espaços vetoriais de U sobre W. Portanto W é um subespaço de V isomorfo a U.

Resposta

O subespaço de V isomorfo a U é Im(T).

Exercícios relacionados