Sejam V um espaço vetorial sobre K com dimensão finita e T: V V uma transformação linear. Suponhamos que exista S: V V tal que T circ S=IV. Demonstre que T é invertível e S=T^-1. Dê um exemplo que mostre que isto é falso quando a dimensão de V não for finita.

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial V de dimensão finita sobre K e uma transformação linear
Tcolon Vto V
para a qual existe outra transformação linear
Scolon Vto V
satisfazendo
Tcirc S = IV
Precisamos mostrar que T é invertível (ou seja, bijetora) e que a inversa de T é exatamente S.

Passo 2

Como Tcirc S = IV, para todo vin V vale
Tl(S(v)r)=v
Isto significa que cada vetor v de V é imagem de S(v), ou seja, T é sobrejetora.

Passo 3

Em espaços vetoriais de dimensão finita, toda transformação linear sobrejetora é também injetora. Logo, T é bijetora e, por definição, invertível. Portanto existe uma única transformação linear
T^-1colon Vto V
tal que
T^-1circ T = Tcirc T^-1 = IV

Passo 4

Já que Tcirc S=IV, S é uma inversa à direita de T. Mas a unicidade da inversa linear implica que a inversa à direita coincide com a inversa à esquerda, de modo que
S = T^-1

Passo 5

Para ver que a hipótese de dimensão finita é essencial, tome V o espaço de todas as sequências em K:
V = (x1,x2,x3,dots)
Defina T como “deslocamento à esquerda” e S como “deslocamento à direita com zero”:
T(x1,x2,x3,dots) = (x2,x3,x4,dots),
S(y1,y2,y3,dots) = (0,y1,y2,dots)
Então, para qualquer sequência (y1,y2,dots),
Tl(S(y1,y2,dots)r) = T(0,y1,y2,dots) = (y1,y2,dots),
ou seja, Tcirc S=IV.
No entanto, T não é injetora (duas sequências que só diferem em x1 têm mesma imagem) e não é sobrejetora (não alcança sequências cujo primeiro termo seja arbitrário), logo não é invertível.

Resposta

T é invertível e S = T^-1.
Como exemplo que falha em dimensão infinita, use o espaço de sequências e o operador de deslocamento descrito acima.

Exercícios relacionados