Sejam
um espaço vetorial sobre
com dimensão finita e
uma transformação linear. Suponhamos que exista
tal que
. Demonstre que
é invertível e
. Dê um exemplo que mostre que isto é falso quando a dimensão de
não for finita.
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial
de dimensão finita sobre
e uma transformação linear
para a qual existe outra transformação linear
satisfazendo
Precisamos mostrar que
é invertível (ou seja, bijetora) e que a inversa de
é exatamente
.
Passo 2
Como
, para todo
vale
Isto significa que cada vetor
de
é imagem de
, ou seja,
é sobrejetora.
Passo 3
Em espaços vetoriais de dimensão finita, toda transformação linear sobrejetora é também injetora. Logo,
é bijetora e, por definição, invertível. Portanto existe uma única transformação linear
tal que
Passo 4
Já que
,
é uma inversa à direita de
. Mas a unicidade da inversa linear implica que a inversa à direita coincide com a inversa à esquerda, de modo que
Passo 5
Para ver que a hipótese de dimensão finita é essencial, tome
o espaço de todas as sequências em
:
Defina
como “deslocamento à esquerda” e
como “deslocamento à direita com zero”:
Então, para qualquer sequência
,
ou seja,
.
No entanto, não é injetora (duas sequências que só diferem em
têm mesma imagem) e não é sobrejetora (não alcança sequências cujo primeiro termo seja arbitrário), logo não é invertível.
No entanto,
Resposta
Como exemplo que falha em dimensão infinita, use o espaço de sequências e o operador de deslocamento descrito acima.