Calcule as integrais:
1
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Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é
; a variável de integração é
. O resultado deve ser uma primitiva (antiderivada) mais uma constante de integração
.
Passo 2
Ideia principal (fórmula útil): sabe-se que a derivada da função
é
. Em notação:
Isso significa que uma antiderivada de
é
. Aqui temos
de uma função composta
, então vamos usar substituição (que é o inverso da regra da cadeia) para tratar o fator interno.
Passo 3
Fazer a substituição: escolha a variável auxiliar
Agora calcule a diferencial
. Derivando ambos os lados em relação a
obtém-se
Passo 4
Trocar a integral para a variável
. Substituindo
e
na integral:
Passo 5
Integrar em
. Como observado no Passo 2, uma primitiva de
é
. Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltar à variável original
. Substituindo
de volta:
Passo 7
Verificação rápida (cheque): derivando a resposta para ver se recuperamos o integrando:
que é exatamente o integrando. Então a primitiva está correta.