Calcule as integrais:
1
\int \operatorname{sec} ^{2}(4 \theta) d \theta

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sec}^{2}(4\theta)\,d\theta.
Informações dadas: a função a integrar é \operatorname{sec}^{2}(4\theta); a variável de integração é \theta. O resultado deve ser uma primitiva (antiderivada) mais uma constante de integração C.

Passo 2

Ideia principal (fórmula útil): sabe-se que a derivada da função \tan x é \operatorname{sec}^{2}x. Em notação:
\frac{d}{dx}\big(\tan x\big)=\operatorname{sec}^{2}x.
Isso significa que uma antiderivada de \operatorname{sec}^{2}x é \tan x. Aqui temos \operatorname{sec}^{2} de uma função composta 4\theta, então vamos usar substituição (que é o inverso da regra da cadeia) para tratar o fator interno.

Passo 3

Fazer a substituição: escolha a variável auxiliar
u = 4\theta.
Agora calcule a diferencial du. Derivando ambos os lados em relação a \theta obtém-se
du = 4\,d\theta \quad\Rightarrow\quad d\theta = \frac{du}{4}.

Passo 4

Trocar a integral para a variável u. Substituindo u=4\theta e d\theta=\dfrac{du}{4} na integral:
\int \operatorname{sec}^{2}(4\theta)\,d\theta = \int \operatorname{sec}^{2}(u)\cdot\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du.

Passo 5

Integrar em u. Como observado no Passo 2, uma primitiva de \operatorname{sec}^{2}u é \tan u. Portanto
\frac{1}{4}\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = \frac{1}{4}\tan u + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltar à variável original \theta. Substituindo u=4\theta de volta:
\frac{1}{4}\tan u + C = \frac{1}{4}\tan(4\theta) + C.

Passo 7

Verificação rápida (cheque): derivando a resposta para ver se recuperamos o integrando:
\frac{d}{d\theta}\left(\frac{1}{4}\tan(4\theta)\right)=\frac{1}{4}\cdot \operatorname{sec}^{2}(4\theta)\cdot 4 = \operatorname{sec}^{2}(4\theta),
que é exatamente o integrando. Então a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\tan(4\theta)+C

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