As seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta e deixe claro o teste utilizado.
sumn=1^infty 1n 3^n

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty 1n3^n. O conteúdo estudado é séries numéricas, e para decidir a convergência vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Definimos an = 1n3^n. O teste da razão diz que se limntoinfty l|an+1/anr| = L < 1, a série converge absolutamente; se L > 1, diverge.
Calcular a razão entre termos consecutivos:
an+1an = 1(n+1)3^n+11n3^n = nn+1 cdot 13

Passo 3

Avaliar o limite:
L = limntoinfty nn+1 cdot 13 = 13

Passo 4

Como L = 1/3 < 1, concluímos que a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

Converge pelo teste da razão, pois limntoinfty|an+1/an| = 1/3 < 1.

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