Seja
sobre o plano
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a) Determine a densidade de corrente.
b) Verifique a Lei de Ampère tomando a circulação de H ao longo do perímetro do retângulo
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a) Determine a densidade de corrente.
b) Verifique a Lei de Ampère tomando a circulação de H ao longo do perímetro do retângulo
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um campo magnético $ H $ dado por $ H = y \hat{a}{x} - x \hat{a}{y}(A/m) $ no plano $ z = 0 $. A gente vai trabalhar com os conceitos de densidade de corrente e a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético com as correntes que o geram. Pra resolver isso, vamos precisar usar a relação entre densidade de corrente e campo magnético, além de calcular a circulação do campo $ H $ ao redor de um caminho fechado.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a densidade de corrente $ \mathbf{J} $. A relação entre o campo magnético $ \mathbf{H} $ e a densidade de corrente $ \mathbf{J} $ é dada pela equação de Maxwell-Ampère:
Então, precisamos calcular o rotacional de $ \mathbf{H} $.
Passo 3
Vamos reescrever o campo $ \mathbf{H} $:
Aqui, $ A $ e $ m $ são constantes. Para calcular o rotacional $ \nabla \times \mathbf{H} $, usamos a definição em coordenadas cartesianas:
Mas como estamos no plano $ z = 0 $ e $ H_z = 0 $, as derivadas envolvendo $ H_z $ vão ser zero.
Passo 4
Vamos calcular cada componente:
- $ \frac{\partial H_y}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( -x \frac{A}{m} \right) = -\frac{A}{m} $
- $ \frac{\partial H_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (y) = 1 $
Então, a componente $ z $ do rotacional é:
Portanto, a densidade de corrente $ \mathbf{J} $ é:
Passo 5
Agora, vamos verificar a Lei de Ampère para o retângulo dado. A Lei de Ampère afirma que a circulação de $ \mathbf{H} $ ao redor de um caminho fechado é igual à corrente total atravessando o caminho:
Precisamos calcular essa circulação para o retângulo com $ 0 < x < 3 $ e $ -1 < y < 4 $ no plano $ z = 0 $.
Passo 6
Vamos parametrizar o caminho do retângulo em quatro segmentos:
- De $ (0,-1) $ a $ (3,-1) $: $ y = -1 $, $ dy = 0 $
- De $ (3,-1) $ a $ (3,4) $: $ x = 3 $, $ dx = 0 $
- De $ (3,4) $ a $ (0,4) $: $ y = 4 $, $ dy = 0 $
- De $ (0,4) $ a $ (0,-1) $: $ x = 0 $, $ dx = 0 $
Em cada segmento, vamos calcular $ \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} $.
Passo 7
Calculando a circulação:
- Primeiro segmento ($ y = -1 $):
Como $ dy = 0 $, apenas a componente $ dx $ contribui:
Integrando de $ x = 0 $ a $ x = 3 $:
- Segundo segmento ($ x = 3 $):
Como $ dx = 0 $, apenas a componente $ dy $ contribui:
Integrando de $ y = -1 $ a $ y = 4 $:
- Terceiro segmento ($ y = 4 $):
Como $ dy = 0 $, apenas $ dx $ contribui, mas no sentido negativo:
Integrando de $ x = 3 $ a $ x = 0 $:
- Quarto segmento ($ x = 0 $):
Como $ dx = 0 $, apenas $ dy $ contribui, mas $ H_x $ aponta na direção $ x $, então:
Integrando de $ y = 4 $ a $ y = -1 $:
Passo 8
Somando todas as contribuições:
Agora, segundo a Lei de Ampère:
Resposta
A densidade de corrente é $ \mathbf{J} = -\left( \frac{A}{m} + 1 \right) \hat{a}{z} $ e a circulação de $ \mathbf{H} $ ao longo do perímetro do retângulo é $ I{total} = 9 - 15 \frac{A}{m} $, confirmando a Lei de Ampère.