Seja H=y ax-x ay(A / m) sobre o plano z=0.
a) Determine a densidade de corrente.
b) Verifique a Lei de Ampère tomando a circulação de H ao longo do perímetro do retângulo z=0,0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um campo magnético $ H $ dado por $ H = y \hat{a}{x} - x \hat{a}{y}(A/m) $ no plano $ z = 0 $. A gente vai trabalhar com os conceitos de densidade de corrente e a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético com as correntes que o geram. Pra resolver isso, vamos precisar usar a relação entre densidade de corrente e campo magnético, além de calcular a circulação do campo $ H $ ao redor de um caminho fechado.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a densidade de corrente $ \mathbf{J} $. A relação entre o campo magnético $ \mathbf{H} $ e a densidade de corrente $ \mathbf{J} $ é dada pela equação de Maxwell-Ampère:
J
Então, precisamos calcular o rotacional de $ \mathbf{H} $.

Passo 3

Vamos reescrever o campo $ \mathbf{H} $:
H
Aqui, $ A $ e $ m $ são constantes. Para calcular o rotacional $ \nabla \times \mathbf{H} $, usamos a definição em coordenadas cartesianas:
H = y ax - x ay ( Am )
Mas como estamos no plano $ z = 0 $ e $ H_z = 0 $, as derivadas envolvendo $ H_z $ vão ser zero.

Passo 4

Vamos calcular cada componente:
  • $ \frac{\partial H_y}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( -x \frac{A}{m} \right) = -\frac{A}{m} $
  • $ \frac{\partial H_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (y) = 1 $
Então, a componente $ z $ do rotacional é:
partial Hypartial x = partialpartial x ( -x Am ) = -Am
Portanto, a densidade de corrente $ \mathbf{J} $ é:
partial Hxpartial y = partialpartial y (y) = 1

Passo 5

Agora, vamos verificar a Lei de Ampère para o retângulo dado. A Lei de Ampère afirma que a circulação de $ \mathbf{H} $ ao redor de um caminho fechado é igual à corrente total atravessando o caminho:
H
Precisamos calcular essa circulação para o retângulo com $ 0 < x < 3 $ e $ -1 < y < 4 $ no plano $ z = 0 $.

Passo 6

Vamos parametrizar o caminho do retângulo em quatro segmentos:
  1. De $ (0,-1) $ a $ (3,-1) $: $ y = -1 $, $ dy = 0 $
  2. De $ (3,-1) $ a $ (3,4) $: $ x = 3 $, $ dx = 0 $
  3. De $ (3,4) $ a $ (0,4) $: $ y = 4 $, $ dy = 0 $
  4. De $ (0,4) $ a $ (0,-1) $: $ x = 0 $, $ dx = 0 $
Em cada segmento, vamos calcular $ \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} $.

Passo 7

Calculando a circulação:
  1. Primeiro segmento ($ y = -1 $):
y = -1
Como $ dy = 0 $, apenas a componente $ dx $ contribui:
H = (-1) ax - x Am ay
Integrando de $ x = 0 $ a $ x = 3 $:
dy = 0
  1. Segundo segmento ($ x = 3 $):
dx
Como $ dx = 0 $, apenas a componente $ dy $ contribui:
H cdot dl = (-1) dx
Integrando de $ y = -1 $ a $ y = 4 $:
x = 0
  1. Terceiro segmento ($ y = 4 $):
x = 3
Como $ dy = 0 $, apenas $ dx $ contribui, mas no sentido negativo:
integral0^3 (-1) dx = -3
Integrando de $ x = 3 $ a $ x = 0 $:
x = 3
  1. Quarto segmento ($ x = 0 $):
H = y ax - 3 Am ay
Como $ dx = 0 $, apenas $ dy $ contribui, mas $ H_x $ aponta na direção $ x $, então:
dx = 0
Integrando de $ y = 4 $ a $ y = -1 $:
dy

Passo 8

Somando todas as contribuições:
-3 - 15 Am + 12 + 0 = (-3 + 12) - 15 Am = 9 - 15 Am
Agora, segundo a Lei de Ampère:
oint H cdot dl = Itotal = 9 - 15 Am

Resposta

A densidade de corrente é $ \mathbf{J} = -\left( \frac{A}{m} + 1 \right) \hat{a}{z} $ e a circulação de $ \mathbf{H} $ ao longo do perímetro do retângulo é $ I{total} = 9 - 15 \frac{A}{m} $, confirmando a Lei de Ampère.

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