Verifique se o campo vetorial
satisfaz o Teorema de Stokes no caminho retangular que contorna a região definida por
. Considere
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um campo vetorial
e queremos verificar se esse campo satisfaz o Teorema de Stokes num caminho retangular que envolve a região definida por
,
, com
. Além disso, vamos considerar que o elemento de área é
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo para comparar integrais de linha e de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada com a integral da rotacional desse campo sobre uma superfície delimitada por essa curva. Em fórmulas, é:
Ou seja, a integral ao longo da borda (
) é igual à integral da rotacional de
sobre a superfície
. Nosso objetivo é verificar se isso vale para o campo e a região dados.
Passo 3
Vamos começar calculando a rotacional de
, que é
. Para um campo vetorial
, a rotacional é:
Vamos encontrar cada uma dessas partes:
Então, substituindo:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de superfície
. Sabemos que
, então:
Como
na superfície definida, podemos substituir
na expressão:
Então, a integral de superfície fica:
Passo 5
Agora, vamos definir os limites de integração para a região
e
. A integral se torna:
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
Calculando os limites:
Então, a integral se torna:
Agora, integramos em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de linha
. Para um caminho retangular no plano
com
e
, temos quatro segmentos:
- De
a - De
a - De
a - De
a
Vamos calcular a integral em cada segmento e somar.
Segmento 1:
a
Parametrização:
varia de 0 a 2,
,
Integral:
Segmento 2:
a
Parametrização:
varia de -2 a 1,
,
Integral:
Segmento 3:
a
Parametrização:
varia de 2 a 0,
,
Integral:
Segmento 4:
a
Parametrização:
varia de 1 a -2,
,
Integral:
Somando tudo:
Resposta
Sim, o campo vetorial
satisfaz o Teorema de Stokes para o caminho retangular dado. A integral de linha é
e a integral de superfície também resulta em
, confirmando que $ \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_{S} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} $.