Verifique se o campo vetorial F=3 y^2 z ax+6 x^2 y ay+9 x z^2 az satisfaz o Teorema de Stokes no caminho retangular que contorna a região definida por 0. Considere d S=d S az.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um campo vetorial F=3 y^2 z ax+6 x^2 y ay+9 x z^2 az e queremos verificar se esse campo satisfaz o Teorema de Stokes num caminho retangular que envolve a região definida por 0 < x < 2, -2 < y < 1, com z=1. Além disso, vamos considerar que o elemento de área é dS = dS az. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo para comparar integrais de linha e de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada com a integral da rotacional desse campo sobre uma superfície delimitada por essa curva. Em fórmulas, é:
ointpartial S F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS
Ou seja, a integral ao longo da borda ( partial S) é igual à integral da rotacional de F sobre a superfície S. Nosso objetivo é verificar se isso vale para o campo e a região dados.

Passo 3

Vamos começar calculando a rotacional de F, que é nabla times F. Para um campo vetorial F = P ax + Q ay + R az, a rotacional é:
nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) ax + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) ay + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) az
Vamos encontrar cada uma dessas partes:
  • partial Rpartial y = partialpartial y(9x z^2) = 0
  • partial Qpartial z = partialpartial z(6x^2y) = 0
  • partial Ppartial z = partialpartial z(3 y^2 z) = 3 y^2
  • partial Rpartial x = partialpartial x(9x z^2) = 9 z^2
  • partial Qpartial x = partialpartial x(6x^2 y) = 12x y
  • partial Ppartial y = partialpartial y(3 y^2 z) = 6 y z
Então, substituindo:
nabla times F = (0 - 0)ax + (3 y^2 - 9 z^2)ay + (12x y - 6 y z)az
Simplificando:
nabla times F = (3 y^2 - 9 z^2)ay + (12x y - 6 y z)az

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de superfície integral duplaS (nabla times F) cdot dS. Sabemos que dS = dS az, então:
(nabla times F) cdot dS = [(3 y^2 - 9 z^2)ay + (12x y - 6 y z)az] cdot az dS = (12x y - 6 y z) dS
Como z=1 na superfície definida, podemos substituir z=1 na expressão:
(12x y - 6 y cdot 1) = 12x y - 6 y = 6 y (2x - 1)
Então, a integral de superfície fica:
integral duplaS (nabla times F) cdot dS = integral duplaS 6 y (2x - 1) dS

Passo 5

Agora, vamos definir os limites de integração para a região 0 < x < 2 e -2 < y < 1. A integral se torna:
integralx=0^2 integraly=-2^1 6 y (2x - 1) dy dx
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a y:
integraly=-2^1 6 y (2x - 1) dy = 6 (2x - 1) integraly=-2^1 y dy = 6 (2x - 1) [ y^22 ]-2^1
Calculando os limites:
[ 1^22 - (-2)^22 ] = [ 12 - 42 ] = -32
Então, a integral se torna:
6 (2x - 1) ( -32 ) = -9 (2x - 1)
Agora, integramos em relação a x:
integralx=0^2 -9 (2x - 1) dx = -9 integralx=0^2 (2x - 1) dx = -9 [ x^2 - x ]0^2 = -9 [ (4 - 2) - (0 - 0) ] = -9 times 2 = -18

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de linha ointpartial S F cdot dr. Para um caminho retangular no plano z=1 com 0 < x < 2 e -2 < y < 1, temos quatro segmentos:
  1. De (0,-2,1) a (2,-2,1)
  2. De (2,-2,1) a (2,1,1)
  3. De (2,1,1) a (0,1,1)
  4. De (0,1,1) a (0,-2,1)
Vamos calcular a integral em cada segmento e somar.
Segmento 1: (0,-2,1) a (2,-2,1)
Parametrização: x varia de 0 a 2, y=-2, z=1
r(t) = t ax - 2 ay + 1 az, t in [0,2]
dr = ax dt
F cdot dr = 3 y^2 z cdot 1 cdot dt = 3 (-2)^2 cdot 1 cdot dt = 12 dt
Integral:
integral0^2 12 dt = 24
Segmento 2: (2,-2,1) a (2,1,1)
Parametrização: y varia de -2 a 1, x=2, z=1
r(t) = 2 ax + t ay + 1 az, t in [-2,1]
dr = ay dt
F cdot dr = 6 x^2 y cdot 1 cdot dt = 6 (2)^2 t cdot dt = 24 t dt
Integral:
integral-2^1 24 t dt = 24 [ t^22 ]-2^1 = 24 ( 12 - 42 ) = 24 ( -32 ) = -36
Segmento 3: (2,1,1) a (0,1,1)
Parametrização: x varia de 2 a 0, y=1, z=1
r(t) = (2 - t) ax + 1 ay + 1 az, t in [0,2]
dr = -ax dt
F cdot dr = 3 y^2 z cdot (-1) dt = 3 (1)^2 cdot 1 cdot (-1) dt = -3 dt
Integral:
integral0^2 -3 dt = -6
Segmento 4: (0,1,1) a (0,-2,1)
Parametrização: y varia de 1 a -2, x=0, z=1
r(t) = 0 ax + t ay + 1 az, t in [1,-2]
dr = ay dt
F cdot dr = 6 x^2 y cdot 1 cdot dt = 6 (0)^2 t cdot dt = 0
Integral:
integral1^-2 0 dt = 0
Somando tudo:
24 + (-36) + (-6) + 0 = -18

Resposta

Sim, o campo vetorial F satisfaz o Teorema de Stokes para o caminho retangular dado. A integral de linha é -18 e a integral de superfície também resulta em -18, confirmando que $ \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_{S} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} $.

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