Seja
uma região conexa e limitada com bordo
de classe
. Considere o seguinte problema: Ache uma função
de classe
tal que
em que
é a derivada direcional na direção de
, sendo
a normal que aponta para fora de
e
e
funções contínuas.
(1 ponto) a) Mostre que se existe uma solução
do problema acima, então
e
devem satisfazer
.
(1 ponto) b) Mostre que se
é uma outra solução do problema, então existe uma constante
tal que
.
Dica: Use o Teorema da divergência e prove que se
é uma função de classe
, então
i)
.
ii)
, se
.
(1 ponto) a) Mostre que se existe uma solução
(1 ponto) b) Mostre que se
Dica: Use o Teorema da divergência e prove que se
i)
ii)
Passo 1
O enunciado trata do problema de Neumann para a equação de Poisson em uma região conexa e limitada
onde são funções contínuas.
a) Mostrar que, se existe solução, então
b) Mostrar que toda outra solução difere apenas por constante.
Passo 2
Para a parte (a) aplicamos o Teorema da divergência ao campo vetorial
. Como
, temos
Mas
em
e
em
. Logo
que é exatamente a condição de compatibilidade necessária.
Passo 3
Para a parte (b), seja
outra solução. Defina
Então em
e em
Logo
é harmônica (
) com condição de contorno de Neumann nulo.
Passo 4
Usando a dica (ii) para
harmônica, temos
Mas
no bordo, então o lado esquerdo é zero e, portanto,
Isso implica
em
, ou seja,
é constante. Logo
para alguma constante
.
Resposta
(a)
.
(b) Se é outra solução, então
com constante
.
(b) Se