Seja Omega subset R^3 uma região conexa e limitada com bordo partial Omega de classe C^1. Considere o seguinte problema: Ache uma função u: barOmega R de classe C^2 tal que
c De<a u(x)=f(x), x in Omega partial upartial n(x)=g(x), x in partial Omega ,
em que partial upartial n=lang<=nabla u, nrang<= é a derivada direcional na direção de n, sendo n a normal que aponta para fora de Omega e f: barOmega R e g: partial Omega R funções contínuas.
(1 ponto) a) Mostre que se existe uma solução u do problema acima, então f e g devem satisfazer integral triplaOmega f(x) d x= integral duplapartial Omega g(x) d S.
(1 ponto) b) Mostre que se v é uma outra solução do problema, então existe uma constante C>0 tal que u=v+C.
Dica: Use o Teorema da divergência e prove que se w: barOmega R é uma função de classe C^2, então
i) integral triplaOmega De<a w(x) d x=integral duplapartial Omega partial wpartial n(x) d S.
ii) integral duplapartial Omega w partial wpartial n(x) d S=integral triplaOmega|nabla w(x)|^2 d x, se De<a w=0.

Passo 1

O enunciado trata do problema de Neumann para a equação de Poisson em uma região conexa e limitada
onde são funções contínuas.
a) Mostrar que, se existe solução, então
b) Mostrar que toda outra solução difere apenas por constante.

Passo 2

Para a parte (a) aplicamos o Teorema da divergência ao campo vetorial nabla u. Como div(nabla u)=De<a u, temos
integral triplaOmegaDe<a u(x),dx =integral duplapartialOmegalang<=nabla u,nrang<=,dS =integral duplapartialOmegapartial upartial n(x),dS
Mas De<a u=f em Omega e partial u/partial n=g em partialOmega. Logo
integral triplaOmegaf(x),dx =integral duplapartialOmegag(x),dS,
que é exatamente a condição de compatibilidade necessária.

Passo 3

Para a parte (b), seja v outra solução. Defina
w(x)=u(x)-v(x)
Então em Omega
De<a w=De<a u-De<a v=f-f=0,
e em partialOmega
partial wpartial n =partial upartial n-partial vpartial n =g-g=0
Logo w é harmônica ( De<a w=0) com condição de contorno de Neumann nulo.

Passo 4

Usando a dica (ii) para w harmônica, temos
integral duplapartialOmegaw,partial wpartial n,dS =integral triplaOmega|nabla w(x)|^2,dx
Mas partial w/partial n=0 no bordo, então o lado esquerdo é zero e, portanto,
integral triplaOmega|nabla w(x)|^2,dx=0
Isso implica nabla wequiv0 em Omega, ou seja, w é constante. Logo
u(x)=v(x)+C
para alguma constante C.

Resposta

(a) integral triplaOmegaf(x),dx=integral duplapartialOmegag(x),dS.
(b) Se v é outra solução, então u=v+C com constante CinR.

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