Considere a função f(x) dada na seguinte tabela:
x_{i} 0 1 2 3 4 5 6
(f(x_{i})) 0,21 0,32 0,42 0,51 0,82 0,91 1,12
Usando a regra 1 / 3 de Simpson repetida, calcule o valor de I=\int_{0}^{6} f(x) d x.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com os pontos (x_i,f(x_i)) nos nós x=0,1,2,3,4,5,6 e pede para calcular
I=\int_{0}^{6} f(x)\,dx
usando a regra de Simpson 1/3 repetida. Dados fornecidos (peguei-os diretamente da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|ccccccc} x_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\hline f(x_i) & 0,21 & 0,32 & 0,42 & 0,51 & 0,82 & 0,91 & 1,12 \end{array}
O que nos pedem: aproximar a integral \int_{0}^{6} f(x)\,dx usando a regra composta de Simpson 1/3.

Passo 2

Apresentando a fórmula e explicando cada símbolo (aula curta para você entender e poder aplicar na prova).
A regra composta de Simpson 1/3 para n subintervalos (com n par) em [a,b] é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[f(x_0)+f(x_n)+4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{n-1} f(x_i)+2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{n-2} f(x_i)\right].í
Explicando:
  • a e b são os limites do intervalo de integração.
  • n é o número de subintervalos (deve ser par para Simpson).
  • h é o passo (comprimento de cada subintervalo): h=(b-a)/n.
  • x_0=a,\; x_n=b e x_i=a+i h.
  • As somas com coeficiente 4 são sobre índices ímpares i=1,3,5,\dots.
  • As somas com coeficiente 2 são sobre índices pares i=2,4,6,\dots (exceto i=n).
Motivo rápido: Simpson aproxima o integrando por parábolas em pares de subintervalos; por isso é necessário um número par de subintervalos.

Passo 3

Determinar n e h a partir dos dados:
  • O intervalo é [a,b]=[0,6].
  • Temos nós em 0,1,2,3,4,5,6, ou seja n=6 subintervalos (porque de 0 até 6 com passo 1).
  • n=6 é par, então podemos aplicar Simpson composta.
  • Calcule h:
h=\frac{b-a}{n}=\frac{6-0}{6}=1.
Logo h=1 e \dfrac{h}{3}=\dfrac{1}{3}.

Passo 4

Listar os valores de f (retirados da tabela) para referencia nas somas:
f(x_0)=f(0)=0,21, \qquad f(x_1)=f(1)=0,32, \qquad f(x_2)=f(2)=0,42,
f(x_3)=f(3)=0,51, \qquad f(x_4)=f(4)=0,82, \qquad f(x_5)=f(5)=0,91, \qquad f(x_6)=f(6)=1,12.

Passo 5

Calcular as somas pedidas pela fórmula, passo a passo e mostrando as contas (faça isso tranquilo na prova; eu mostro as adições para você copiar):
Soma dos f em índices ímpares i=1,3,5:
\sum_{\text{ímpares}} f(x_i)=f(x_1)+f(x_3)+f(x_5)=0,32+0,51+0,91.í
Fazendo as contas:
0,32+0,51=0,83,\qquad 0,83+0,91=1,74.
Portanto
\sum_{\text{ímpares}} f(x_i)=1,74.í
Soma dos f em índices pares (interiores) i=2,4:
\sum_{\text{pares}} f(x_i)=f(x_2)+f(x_4)=0,42+0,82.
Fazendo as contas:
0,42+0,82=1,24.
Portanto
\sum_{\text{pares}} f(x_i)=1,24.
Calcule também f(x_0)+f(x_n):
f(x_0)+f(x_6)=0,21+1,12=1,33.
Agora calcule os termos com os coeficientes 4 e 2:
4\sum_{\text{ímpares}} f(x_i)=4\cdot 1,74=6,96, \qquad 2\sum_{\text{pares}} f(x_i)=2\cdot 1,24=2,48.í
Some todos os termos dentro dos colchetes da fórmula:
f(x_0)+f(x_n)+4\sum_{\text{ímpares}} f(x_i)+2\sum_{\text{pares}} f(x_i)=1,33+6,96+2,48.í
Fazendo as adições:
1,33+6,96=8,29,\qquad 8,29+2,48=10,77.
Portanto o somatório interior vale 10,77.

Passo 6

Aplicar a fórmula de Simpson composta com h/3=1/3 e o somatório interior 10,77:
I \approx \frac{h}{3}\times(\text{somatório interior})=\frac{1}{3}\times 10,77.ó

Resposta

I\approx 3,59

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