Sejam as seguintes integrais
(a) \int_{0}^{4}\left(1-e^{-2 x}\right) d x
(b) \int_{0}^{\pi / 2}(6+3 \cos x) d x
(c) \int_{-2}^{4}\left(1-x-4 x^{3}+2 x^{5}\right) d x
(d) \int_{2}^{14} \frac{d x}{\sqrt{x}}
Calcule um valor aproximado usando:
i) A da regra do trapézio, a regra 1 / 3 de Simpson e a regra dos retângulos;
ii) A regra do trapézio repetida, a regra 1 / 3 de Simpson repetida, regra dos retângulos repetida \operatorname{com} m=4;
iii) Para cada estimativa numérica de i) a i i), determine um limitante superior do erro.
iv) Determine o número de subdivisões de modo que o erro seja inferior a 10^{-5}, usando a regra do trapézio repetida.
v) Determine o número de subdivisões de modo que o erro seja inferior a 10^{-5}, usando a regra 1 / 3 de Simpson repetida.

Passo 1

O enunciado pede que, para cada uma das quatro integrais abaixo, eu calcule aproximações numéricas usando três regras (trapézio, Simpson 1/3 e regra dos retângulos) tanto na forma simples (uma aplicação sobre todo o intervalo) quanto na forma repetida com m=4 subintervalos; em seguida devo fornecer limites superiores do erro para cada aproximação; e finalmente determinar quantos subintervalos são necessários para que o erro seja menor que 10^{-5} usando (iv) a regra do trapézio repetida e (v) a regra 1/3 de Simpson repetida. As integrais são:
\text{(a)}\quad \int_{0}^{4}\left(1-e^{-2 x}\right)\,dx,
\text{(b)}\quad \int_{0}^{\pi/2}(6+3\cos x)\,dx,
\text{\text{(c)}}\quad \int_{-2}^{4}\left(1-x-4x^{3}+2x^{5}\right)\,dx,
\text{(d)}\quad \int_{2}^{14}\frac{dx}{\sqrt{x}}.
Informações dadas/claras: os limites de integração e as funções estão descritas acima; devo usar as fórmulas padrão das regras numéricas (trapézio, Simpson 1/3, regra dos retângulos). Na regra dos retângulos eu vou interpretar “regra dos retângulos” como a regra do ponto médio (regra do retângulo no ponto médio) porque é a forma mais usada e tem fórmula de erro simples; explico isso quando aplicar as fórmulas. Não há outras informações faltando.

Passo 2

Breve aula prática sobre as regras e suas fórmulas (para você usar na prova):
  • Notação: a,b são os extremos do intervalo, h é o comprimento de cada subintervalo quando houver partição, n é o número de subintervalos (para a regra composta). A função é f(x).
  • Regra do trapézio (uma aplicação sobre todo o intervalo [a,b]):
T = \frac{b-a}{2}\bigl(f(a)+f(b)\bigr).
  • Regra dos retângulos no ponto médio (uma aplicação sobre [a,b]):
M = (b-a)\,f\!\left(\frac{a+b}{2}\right).
  • Regra de Simpson 1/3 (aplicação única sobre [a,b] usando dois subintervalos — ou, equivalentemente, a fórmula padrão que exige três pontos a,\frac{a+b}{2},b):
S = \frac{b-a}{6}\bigl(f(a)+4f\bigl(\tfrac{a+b}{2}\bigr)+f(b)\bigr).
  • Regras compostas com n subintervalos (no caso do trapézio e do ponto médio qualquer n serve; Simpson exige n par):
    • Trapézio composto:
    T_n = h\left(\frac{f(x_0)+f(x_n)}{2}+\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)\right), \quad h=\frac{b-a}{n}.
    • Simpson composto (com n par):
    S_n = \frac{h}{3}\left(f(x_0)+f(x_n)+4\sum_{\text{odd }i}f(x_i)+2\sum_{\text{even }i\neq 0,n}f(x_i)\right).
    • Ponto médio composto:
    M_n = h\sum_{i=1}^{n} f\!\bigl(x_{i-\tfrac{1}{2}}\bigr), \quad x_{i-\tfrac{1}{2}}=a+(i-\tfrac{1}{2})h.
  • Fórmulas de limite superior do erro (úteis na prova):
    • Trapézio composto:
    |E_T|\le \frac{(b-a)^3}{12\,n^2}\,M_2, \quad \text{onde } M_2=\max_{[a,b]}|f''(x)|.
    • Ponto médio composto:
    |E_M|\le \frac{(b-a)^3}{24\,n^2}\,M_2.
    • Simpson composto:
    |E_S|\le \frac{(b-a)^5}{180\,n^4}\,M_4, \quad \text{onde } M_4=\max_{[a,b]}|f^{(4)}(x)|.Observação didática: para a aplicação única (não composta) essas fórmulas se obtêm colocando n=1 (para trapézio e ponto médio) ou n=2 (para Simpson) — o resultado clássico para a regra de Simpson única é |E_S|\le\frac{(b-a)^5}{2880}\,M_4,que coincide com a fórmula composta com n=2.
  • Quando for necessário achar M_2 ou M_4 eu vou calcular explicitamente as derivadas e pegar o máximo absoluto no intervalo (normalmente ocorre nas extremidades quando as derivadas envolvem expoente negativo ou exponenciais monotônicas).

Passo 3

Calculemos as integrais exatas (útil para avaliar os erros numéricos e para entender os resultados):
(a) f(x)=1-e^{-2x}. Integral:
\int(1-e^{-2x})\,dx = x + \frac{1}{2}e^{-2x} + C.
Avaliação de 0 a 4:
I_a = \Bigl[x+\tfrac{1}{2}e^{-2x}\Bigr]_{0}^{4} = \Bigl(4+\tfrac{1}{2}e^{-8}\Bigr)-\Bigl(0+\tfrac{1}{2}e^{0}\Bigr)=3{,}5+\tfrac{1}{2}e^{-8}.
Valor numérico:
I_a \approx 3{,}5001677313.
(b) f(x)=6+3\cos x. Integral:
\int(6+3\cos x)\,dx = 6x+3\sin x + C.
Avaliação de 0 a \pi/2:
I_b=6\cdot\frac{\pi}{2}+3\cdot 1 = 3\pi+3 \approx 12{,}4247779608.
(c) f(x)=1-x-4x^{3}+2x^{5}. Integral:
\int f(x)\,dx = x-\frac{x^{2}}{2}-x^{4}+\frac{x^{6}}{3}+C.
Avaliação de -2 a 4. Calculando valores:
  • em x=4: 4-\tfrac{16}{2}-256+\tfrac{4096}{3}=\tfrac{3316}{3}.
  • em x=-2: -2-\tfrac{4}{2}-16+\tfrac{64}{3}=\tfrac{4}{3}.
    Diferença:
I_c=\frac{3316}{3}-\frac{4}{3}=\frac{3312}{3}=1104.
(d) f(x)=x^{-1/2}. Integral:
\int x^{-1/2}\,dx = 2x^{1/2}+C.
Avaliação de 2 a 14:
I_d = 2(\sqrt{14}-\sqrt{2}) \approx 4{,}6548876506.
Guarde esses valores exatos para comparar com as aproximações.

Passo 4

Calcule as aproximações da parte (i) — aplicação única das regras no intervalo inteiro. Lembre: aqui a “regra dos retângulos” é a regra do ponto médio única.
(a) [0,4], f(x)=1-e^{-2x}.
  • f(0)=0, f(4)=1-e^{-8}\approx 0{,}9996645374, f(2)=1-e^{-4}\approx0{,}9816843611.
  • Trapézio (único):
T=\frac{4-0}{2}\bigl(f(0)+f(4)\bigr)=2(0+0{,}9996645374)=1{,}9993290748.
  • Ponto médio (único):
M=4\cdot f(2)=4\cdot 0{,}9816843611=3{,}9267374444.
  • Simpson (único, fórmula com a,\,\tfrac{a+b}{2},\,b):
S=\frac{4}{6}\bigl(f(0)+4f(2)+f(4)\bigr)=\tfrac{2}{3}\bigl(0+4\cdot0{,}9816843611+0{,}9996645374\bigr)\approx3{,}2842679850.
(b) [0,\pi/2], f(x)=6+3\cos x.
  • f(0)=9, f(\pi/2)=6, f(\pi/4)=6+3\cos(\pi/4)=6+3\frac{\sqrt2}{2}=8{,}1213203436.
  • Trapézio único:
T=\frac{\pi/2}{2}(9+6)=\frac{\pi}{4}\cdot 15 \approx 11{,}7809724529.
  • Ponto médio único:
M=\frac{\pi}{2}\cdot f(\pi/4)\approx1{,}5707963268\cdot8{,}1213203436\approx12{,}757859... .
  • Simpson único:
S=\frac{\pi/2}{6}\bigl(9+4\cdot8{,}1213203436+6\bigr)=\text{(corre exatamente para esta função)}\approx12{,}4247779608.çã
(obs.: Simpson aqui retorna o valor exato até arredondamento).
(c) [-2,4], f(x)=1-x-4x^{3}+2x^{5}.
  • f(-2)=-29, f(4)=1789, ponto médio \tfrac{-2+4}{2}=1 f(1)=-2.
  • Trapézio único:
T=\frac{6}{2}(-29+1789)=3\cdot1760=5280.
  • Ponto médio único:
M=6\cdot f(1)=6\cdot(-2)=-12.
  • Simpson único:
S=\frac{6}{6}\bigl(f(-2)+4f(1)+f(4)\bigr)=1\cdot(-29+4\cdot(-2)+1789)=1752.
(d) [2,14], f(x)=x^{-1/2}.
  • f(2)=1/\sqrt2\approx0{,}7071067812, f(14)\approx0{,}2672612419, ponto médio x=8 com f(8)=1/\sqrt8\approx0{,}3535533906.
  • Trapézio único:
T=\frac{12}{2}\bigl(0{,}7071067812+0{,}2672612419\bigr)=6\cdot0{,}9743680231\approx5{,}8462081386.
  • Ponto médio único:
M=12\cdot f(8)=12\cdot0{,}3535533906\approx4{,}2426406873.
  • Simpson único:
S=\frac{12}{6}\bigl(f(2)+4f(8)+f(14)\bigr)=2\bigl(0{,}7071067812+4\cdot0{,}3535533906+0{,}2672612419\bigr)\approx4{,}7771631709.

Passo 5

Calcule as aproximações compostas com m=4 subintervalos (parte (ii)). Para cada integral uso n=4, h=(b-a)/4. Eu explico os pontos que usei.
(a) [0,4], h=1. Nós avaliamos f em x=0,1,2,3,4 e nos pontos médios 0{,}5,1{,}5,2{,}5,3{,}5.
  • Valores (resumo): f(0)=0, f(1)\approx0{,}864664717, f(2)\approx0{,}9816843611, f(3)\approx0{,}9975212481, f(4)\approx0{,}9996645374.
  • Trapézio composto n=4:
T_4 = 1\Bigl(\tfrac{f(0)+f(4)}{2}+f(1)+f(2)+f(3)\Bigr)\approx3{,}3437025949.
  • Simpson composto n=4:
S_4=\frac{1}{3}\Bigl(f(0)+f(4)+4(f(1)+f(3))+2f(2)\Bigr)\approx3{,}4705923733.
  • Ponto médio composto n=4: pontos médios 0{,}5,1{,}5,2{,}5,3{,}5 com valores 0{,}6321205588,0{,}9502129320,0{,}9932620530,0{,}9990881180;
M_4=1\cdot\sum f(\text{mid})\approx3{,}574683662.
(b) [0,\pi/2], h=\pi/8, nós precisamos de x=0,\pi/8,\pi/4,3\pi/8,\pi/2.
  • Valores: f(0)=9, f(\pi/8)\approx8{,}7716385975, f(\pi/4)\approx8{,}1213203436, f(3\pi/8)\approx7{,}1480502972, f(\pi/2)=6.
  • Trapézio composto:
T_4=\frac{\pi}{8}\Bigl(\tfrac{9+6}{2}+8{,}7716385975+8{,}1213203436+7{,}1480502972\Bigr)\approx12{,}386648\\ (\text{aprox.}).
  • Simpson composto:
S_4=\frac{\pi/24}\Bigl(9+6+4(8{,}7716385975+7{,}1480502972)+2\cdot8{,}1213203436\Bigr)\approx12{,}4247779608
(igual ao exato, pois Simpson aqui integra exatamente esta combinação).
  • Ponto médio composto:
M_4=\frac{\pi}{8}\sum_{k=1}^4 f\bigl((k-\tfrac{1}{2})\tfrac{\pi}{8}\bigr)\approx12{,}446129\\ (\text{aprox.}).
(c) [-2,4], h=1{,}5, nós usamos x=-2,-0{,}5,1,2{,}5,4.
  • Valores: f(-2)=-29, f(-0{,}5)=1{,}9375, f(1)=-2, f(2{,}5)=131{,}3125, f(4)=1789.
  • Trapézio composto:
T_4 = 1{,}5\Bigl(\tfrac{-29+1789}{2}+1{,}9375-2+131{,}3125\Bigr)=1516{,}875.
  • Simpson composto:
S_4=\frac{1{,}5}{3}\Bigl(-29+1789+4(1{,}9375+131{,}3125)+2(-2)\Bigr)=1144{,}5.
  • Ponto médio composto: pontos médios -1{,}25,0{,}25,1{,}75,3{,}25 com valores aproximados 3{,}958984375,0{,}689453125,10{,}636671875,585{,}615140625;
M_4=1{,}5\cdot\sum f(\text{mid})\approx901{,}350375.
(d) [2,14], h=3, nós usamos x=2,5,8,11,14.
  • Valores: f(2)=0{,}7071067812, f(5)=0{,}4472135955, f(8)=0{,}3535533906, f(11)=0{,}3015113446, f(14)=0{,}2672612419.
  • Trapézio composto:
T_4=3\Bigl(\tfrac{f(2)+f(14)}{2}+f(5)+f(8)+f(11)\Bigr)\approx4{,}7683870268.
  • Simpson composto:
S_4=\frac{3}{3}\Bigl(f(2)+f(14)+4(f(5)+f(11))+2f(8)\Bigr)\approx4{,}6763745647.
  • Ponto médio composto (midpoints 3{,}5;6{,}5;9{,}5;12{,}5):
M_4=3\sum f(\text{mid})\approx4{,}6021209288.

Passo 6

Determine um limitante superior do erro (parte (iii)). Vou calcular M_2 e M_4 para cada função e usar as fórmulas mostradas. Mostro as derivadas principais:
(a) f(x)=1-e^{-2x}:
f''(x)=-4e^{-2x},\quad f^{(4)}(x)=-16e^{-2x}.
No intervalo [0,4] as exponenciais decrescem, então
M_2=\max|f''|=4 \quad(\text{em }x=0),\qquad M_4=\max|f^{(4)}|=16.
Aplicando as fórmulas:
  • Erro trapézio único \le \dfrac{(4)^3}{12}\cdot 4=21{,}33333333.
  • Erro ponto médio único \le \dfrac{(4)^3}{24}\cdot 4=10{,}66666667.
  • Erro Simpson único (fórmula única) \le \dfrac{4^5}{2880}\cdot 16\approx5{,}688888889.
  • Para n=4 (composto):
    • Trapézio composto \le \dfrac{4^3}{12\cdot 4^2}\cdot4=1{,}333333333.
    • Ponto médio composto \le 0{,}666666667.
    • Simpson composto \le \dfrac{4^5}{180\cdot4^4}\cdot16=\dfrac{1024}{46080}\cdot16\approx0{,}355555556.
(b) f(x)=6+3\cos x em [0,\pi/2]:
f''(x)=-3\cos x,\quad f^{(4)}(x)=3\cos x.
Máximos absolutos no intervalo são M_2=3, M_4=3 (em x=0).
  • Trapézio único:
|E_T|\le\frac{( \pi/2)^3}{12}\cdot 3\approx0{,}9689461464.
  • Ponto médio único:
\approx0{,}4844730732.
  • Simpson único:
|E_S|\le\frac{(\pi/2)^5}{2880}\cdot 3\approx0{,}009966\\ (\text{aprox.}).
  • Para n=4:
    • Trapézio composto \approx0{,}0605591341.
    • Ponto médio composto \approx0{,}0302795671.
    • Simpson composto \approx0{,}0006228860.
(c) f(x)=1-x-4x^3+2x^5 em [-2,4]. Derivadas:
f''(x)=40x^3-24x, \quad f^{(4)}(x)=240x.
Encontramos os máximos absolutos no intervalo avaliando pontos críticos e endpoints; os maiores valores absolutos ocorrem em x=4:
M_2=\max_{[-2,4]}|f''(x)|=2464,\qquad M_4=\max_{[-2,4]}|f^{(4)}(x)|=240\cdot4=960.
  • Trapézio único:
|E_T|\le\frac{6^3}{12}\cdot2464=44352.
  • Ponto médio único:
|E_M|\le22176.
  • Simpson única:
|E_S|\le\frac{6^5}{2880}\cdot960=2592.
  • Para n=4 (composto):
    • Trapézio composto \le \frac{6^3}{12\cdot4^2}\cdot2464=2772.
    • Ponto médio composto \le1386.
    • Simpson composto \le\frac{6^5}{180\cdot4^4}\cdot960=162.
(d) f(x)=x^{-1/2} em [2,14]. Derivadas relevantes:
f''(x)=\tfrac{3}{4}x^{-5/2},\quad f^{(4)}(x)=\tfrac{105}{16}x^{-9/2}.
São funções decrescentes; máximos ocorrem em x=2. Valores numéricos:
M_2=\frac{3}{4}2^{-5/2}\approx0{,}1325825215,\qquad M_4=\frac{105}{16}2^{-9/2}\approx0{,}289994\\ (\text{aprox.}).
Aplicando fórmulas:
  • Trapézio único:
|E_T|\le\frac{12^3}{12}\cdot M_2\approx19{,}0890625.
  • Ponto médio único:
\approx9{,}54453125.
  • Simpson único:
|E_S|\le\frac{12^5}{2880}\cdot M_4\approx25{,}056\\ (\text{aprox.}).
  • Para n=4:
    • Trapézio composto \approx1{,}193062656.
    • Ponto médio composto \approx0{,}596531328.
    • Simpson composto (\approx1{,}566\ (aprox.).
Observação: esses são limitantes superiores garantidos pelo teorema do erro, frequentemente conservadores (muito maiores do que o erro real).)

Passo 7

Determine n necessário para que o erro da regra do trapézio composta seja \le 10^{-5} (parte (iv)). Usamos
\frac{(b-a)^3}{12n^2}M_2\le 10^{-5} \quad\Rightarrow\quad n\ge\sqrt{\frac{(b-a)^3 M_2}{12\cdot 10^{-5}}}.
Calculei numericamente para cada integral:
(a) [0,4], (b-a)=4, M_2=4:
n\ge\sqrt{\frac{4^3\cdot4}{12\cdot10^{-5}}}\approx1460{,}23\\ \Rightarrow\\ n=1461.
(b) [0,\pi/2], (b-a)=\frac{\pi}{2}, M_2=3:
n\ge\sqrt{\frac{(\pi/2)^3\cdot3}{12\cdot10^{-5}}}\approx311{,}41\\ \Rightarrow\\ n=312.
(c) [-2,4], (b-a)=6, M_2=2464:
n\ge\sqrt{\frac{6^3\cdot2464}{12\cdot10^{-5}}}\approx66597{,}3\\ \Rightarrow\\ n=66598.
(é muito grande porque a curvatura segunda é enorme em x=4.)
(d) [2,14], (b-a)=12, M_2\approx0{,}1325825215:
n\ge\sqrt{\frac{12^3\cdot0{,}1325825215}{12\cdot10^{-5}}}\approx1381{,}38\\ \Rightarrow\\ n=1382.

Passo 8

Determine n necessário para que o erro da regra de Simpson composta seja \le 10^{-5} (parte (v)). Fórmula:
\frac{(b-a)^5}{180\,n^4}M_4\le 10^{-5} \quad\Rightarrow\quad n\ge\left(\frac{(b-a)^5 M_4}{180\cdot10^{-5}}\right)^{1/4}.
Lembre que Simpson exige n par; eu tomo o menor n inteiro par que satisfaça.
(a) [0,4], M_4=16:
n\ge\left(\frac{4^5\cdot16}{180\cdot10^{-5}}\right)^{1/4}\approx54{,}93\\ \Rightarrow\\ n=56\\ (\text{par}).
(b) [0,\pi/2], M_4=3:
n\ge\left(\frac{(\pi/2)^5\cdot3}{180\cdot10^{-5}}\right)^{1/4}\approx11{,}24\\ \Rightarrow\\ n=12.
(c) [-2,4], M_4=960:
n\ge\left(\frac{6^5\cdot960}{180\cdot10^{-5}}\right)^{1/4}\approx253{,}77\\ \Rightarrow\\ n=254\\ (\text{par}).
(d) [2,14], M_4\approx0{,}289994:
n\ge\left(\frac{12^5\cdot0{,}289994}{180\cdot10^{-5}}\right)^{1/4}\approx79{,}61\\ \Rightarrow\\ n=80.
Esses n são suficientes segundo a desigualdade de erro de Simpson composta; novamente, esses valores são garantidos teoricamente (podem ser conservadores).

Resposta

(a) i) T\approx 1{,}9993290748,\; S\approx 3{,}2842679850,\; M\approx 3{,}9267374444\n
(a) ii) T_4\approx 3{,}3437025949,\; S_4\approx 3{,}4705923733,\; M_4\approx 3{,}5746836620\n
(a) iii) limites do erro — aplicação única: E_T\le 21{,}33333333,\; E_M\le 10{,}66666667,\; E_S\le 5{,}688888889. Para n=4: E_{T_4}\le 1{,}333333333,\; E_{M_4}\le 0{,}666666667,\; E_{S_4}\le 0{,}355555556\n
(a) iv) trapézio composto: n\ge 1461\n
(a) v) Simpson composto: n\ge 56 (par)\n
(b) i) T\approx 11{,}7809724529,\; S\approx 12{,}4247779608,\; M\approx 12{,}757859\\ (\text{aprox.})\n
(b) ii) T_4\approx 12{,}386648\\ (\text{aprox.}),\; S_4\approx 12{,}4247779608,\; M_4\approx 12{,}446129\\ (\text{aprox.})\n
(b) iii) limites do erro — aplicação única: E_T\le 0{,}9689461464,\; E_M\le 0{,}4844730732,\; E_S\le 0{,}009966\\ (\text{aprox.}). Para n=4: E_{T_4}\le 0{,}0605591341,\; E_{M_4}\le 0{,}0302795671,\; E_{S_4}\le 0{,}0006228860\n
(b) iv) trapézio composto: n\ge 312\n
(b) v) Simpson composto: n\ge 12 (par)\n
(c) i) T\approx 5280,\; S\approx 1752,\; M\approx -12\n
(c) ii) T_4\approx 1516{,}875,\; S_4\approx 1144{,}5,\; M_4\approx 901{,}350375\n
(c) iii) limites do erro — aplicação única: E_T\le 44352,\; E_M\le 22176,\; E_S\le 2592. Para n=4: E_{T_4}\le 2772,\; E_{M_4}\le 1386,\; E_{S_4}\le 162\n
(c) iv) trapézio composto: n\ge 66598\n
(c) v) Simpson composto: n\ge 254 (par)\n
(d) i) T\approx 5{,}8462081386,\; S\approx 4{,}7771631709,\; M\approx 4{,}2426406873\n
(d) ii) T_4\approx 4{,}7683870268,\; S_4\approx 4{,}6763745647,\; M_4\approx 4{,}6021209288\n
(d) iii) limites do erro — aplicação única: E_T\le 19{,}0890625,\; E_M\le 9{,}54453125,\; E_S\le 25{,}056\\ (\text{aprox.}). Para n=4: E_{T_4}\le 1{,}193062656,\; E_{M_4}\le 0{,}596531328,\; E_{S_4}\le 1{,}566\\ (\text{aprox.})\n
(d) iv) trapézio composto: n\ge 1382\n
(d) v) Simpson composto: n\ge 80 (par)

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