Sejam as seguintes integrais
(a)
(b)
(c)
(d)
Calcule um valor aproximado usando:
i) A da regra do trapézio, a regra
de Simpson e a regra dos retângulos;
ii) A regra do trapézio repetida, a regra
de Simpson repetida, regra dos retângulos repetida
;
iii) Para cada estimativa numérica de
a
, determine um limitante superior do erro.
iv) Determine o número de subdivisões de modo que o erro seja inferior a
, usando a regra do trapézio repetida.
v) Determine o número de subdivisões de modo que o erro seja inferior a
, usando a regra
de Simpson repetida.
(a)
(b)
(c)
(d)
i) A da regra do trapézio, a regra
ii) A regra do trapézio repetida, a regra
iii) Para cada estimativa numérica de
iv) Determine o número de subdivisões de modo que o erro seja inferior a
v) Determine o número de subdivisões de modo que o erro seja inferior a
Passo 1
O enunciado pede que, para cada uma das quatro integrais abaixo, eu calcule aproximações numéricas usando três regras (trapézio, Simpson 1/3 e regra dos retângulos) tanto na forma simples (uma aplicação sobre todo o intervalo) quanto na forma repetida com
subintervalos; em seguida devo fornecer limites superiores do erro para cada aproximação; e finalmente determinar quantos subintervalos são necessários para que o erro seja menor que
usando (iv) a regra do trapézio repetida e (v) a regra 1/3 de Simpson repetida. As integrais são:
Informações dadas/claras: os limites de integração e as funções estão descritas acima; devo usar as fórmulas padrão das regras numéricas (trapézio, Simpson 1/3, regra dos retângulos). Na regra dos retângulos eu vou interpretar “regra dos retângulos” como a regra do ponto médio (regra do retângulo no ponto médio) porque é a forma mais usada e tem fórmula de erro simples; explico isso quando aplicar as fórmulas. Não há outras informações faltando.
Passo 2
Breve aula prática sobre as regras e suas fórmulas (para você usar na prova):
- Notação:
são os extremos do intervalo, é o comprimento de cada subintervalo quando houver partição, é o número de subintervalos (para a regra composta). A função é . - Regra do trapézio (uma aplicação sobre todo o intervalo
):
- Regra dos retângulos no ponto médio (uma aplicação sobre
):
- Regra de Simpson 1/3 (aplicação única sobre
usando dois subintervalos — ou, equivalentemente, a fórmula padrão que exige três pontos ):
- Regras compostas com
subintervalos (no caso do trapézio e do ponto médio qualquer serve; Simpson exige par): - Trapézio composto:
- Simpson composto (com
par):
- Ponto médio composto:
- Fórmulas de limite superior do erro (úteis na prova):
- Trapézio composto:
- Ponto médio composto:
- Simpson composto:
Observação didática: para a aplicação única (não composta) essas fórmulas se obtêm colocando (para trapézio e ponto médio) ou (para Simpson) — o resultado clássico para a regra de Simpson única é que coincide com a fórmula composta com . - Quando for necessário achar
ou eu vou calcular explicitamente as derivadas e pegar o máximo absoluto no intervalo (normalmente ocorre nas extremidades quando as derivadas envolvem expoente negativo ou exponenciais monotônicas).
Passo 3
Calculemos as integrais exatas (útil para avaliar os erros numéricos e para entender os resultados):
(a)
. Integral:
Avaliação de
a
:
Valor numérico:
(b)
. Integral:
Avaliação de
a
:
(c)
. Integral:
Avaliação de
a
. Calculando valores:
- em
: . - em
: .
Diferença:
(d)
. Integral:
Avaliação de
a
:
Guarde esses valores exatos para comparar com as aproximações.
Passo 4
Calcule as aproximações da parte (i) — aplicação única das regras no intervalo inteiro. Lembre: aqui a “regra dos retângulos” é a regra do ponto médio única.
(a)
,
.
-
, , . - Trapézio (único):
- Ponto médio (único):
- Simpson (único, fórmula com
):
(b)
,
.
-
, , . - Trapézio único:
- Ponto médio único:
- Simpson único:
(obs.: Simpson aqui retorna o valor exato até arredondamento).
(c)
,
.
-
, , ponto médio dá . - Trapézio único:
- Ponto médio único:
- Simpson único:
(d)
,
.
-
, , ponto médio com . - Trapézio único:
- Ponto médio único:
- Simpson único:
Passo 5
Calcule as aproximações compostas com
subintervalos (parte (ii)). Para cada integral uso
,
. Eu explico os pontos que usei.
(a)
,
. Nós avaliamos
em
e nos pontos médios
.
- Valores (resumo):
, , , , . - Trapézio composto
:
- Simpson composto
:
- Ponto médio composto
: pontos médios com valores ;
(b)
,
, nós precisamos de
.
- Valores:
, , , , . - Trapézio composto:
- Simpson composto:
(igual ao exato, pois Simpson aqui integra exatamente esta combinação).
- Ponto médio composto:
(c)
,
, nós usamos
.
- Valores:
, , , , . - Trapézio composto:
- Simpson composto:
- Ponto médio composto: pontos médios
com valores aproximados ;
(d)
,
, nós usamos
.
- Valores:
, , , , . - Trapézio composto:
- Simpson composto:
- Ponto médio composto (midpoints 3{,}5;6{,}5;9{,}5;12{,}5):
Passo 6
Determine um limitante superior do erro (parte (iii)). Vou calcular
e
para cada função e usar as fórmulas mostradas. Mostro as derivadas principais:
(a)
:
No intervalo
as exponenciais decrescem, então
Aplicando as fórmulas:
- Erro trapézio único
. - Erro ponto médio único
. - Erro Simpson único (fórmula única)
. - Para
(composto): - Trapézio composto
- Ponto médio composto
- Simpson composto
- Trapézio composto
(b)
em
:
Máximos absolutos no intervalo são
,
(em
).
- Trapézio único:
- Ponto médio único:
- Simpson único:
- Para
: - Trapézio composto
- Ponto médio composto
- Simpson composto
- Trapézio composto
(c)
em
. Derivadas:
Encontramos os máximos absolutos no intervalo avaliando pontos críticos e endpoints; os maiores valores absolutos ocorrem em
:
- Trapézio único:
- Ponto médio único:
- Simpson única:
- Para
(composto): - Trapézio composto
- Ponto médio composto
- Simpson composto
- Trapézio composto
(d)
em
. Derivadas relevantes:
São funções decrescentes; máximos ocorrem em
. Valores numéricos:
Aplicando fórmulas:
- Trapézio único:
- Ponto médio único:
- Simpson único:
- Para
: - Trapézio composto
- Ponto médio composto
- Simpson composto (\approx1{,}566\ (aprox.).
- Trapézio composto
Observação: esses são limitantes superiores garantidos pelo teorema do erro, frequentemente conservadores (muito maiores do que o erro real).)
Passo 7
Determine
necessário para que o erro da regra do trapézio composta seja
(parte (iv)). Usamos
Calculei numericamente para cada integral:
(a)
,
,
:
(b)
,
,
:
(c)
,
,
:
(é muito grande porque a curvatura segunda é enorme em
.)
(d)
,
,
:
Passo 8
Determine
necessário para que o erro da regra de Simpson composta seja
(parte (v)). Fórmula:
Lembre que Simpson exige
par; eu tomo o menor
inteiro par que satisfaça.
(a)
,
:
(b)
,
:
(c)
,
:
(d)
,
:
Esses
são suficientes segundo a desigualdade de erro de Simpson composta; novamente, esses valores são garantidos teoricamente (podem ser conservadores).
Resposta
(a) i)
\n
(a) ii) \n
(a) iii) limites do erro — aplicação única: . Para
:
\n
(a) iv) trapézio composto: \n
(a) v) Simpson composto: (par)\n
(a) ii)
(a) iii) limites do erro — aplicação única:
(a) iv) trapézio composto:
(a) v) Simpson composto:
(b) i)
\n
(b) ii) \n
(b) iii) limites do erro — aplicação única: . Para
:
\n
(b) iv) trapézio composto: \n
(b) v) Simpson composto: (par)\n
(b) ii)
(b) iii) limites do erro — aplicação única:
(b) iv) trapézio composto:
(b) v) Simpson composto:
(c) i)
\n
(c) ii) \n
(c) iii) limites do erro — aplicação única: . Para
:
\n
(c) iv) trapézio composto: \n
(c) v) Simpson composto: (par)\n
(c) ii)
(c) iii) limites do erro — aplicação única:
(c) iv) trapézio composto:
(c) v) Simpson composto:
(d) i)
\n
(d) ii) \n
(d) iii) limites do erro — aplicação única: . Para
:
\n
(d) iv) trapézio composto: \n
(d) v) Simpson composto: (par)
(d) ii)
(d) iii) limites do erro — aplicação única:
(d) iv) trapézio composto:
(d) v) Simpson composto: