Seja I=integral0^1 cos ^2(x) d x
b) Usando a fórmula 1 / 3 de Simpson generalizada com 3 e 5 pontos calcular o valor aproximado de I;

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral I=integral0^1cos^2(x),dx usando a regra de Simpson 1/3 generalizada com 3 e 5 pontos. O tema é integração numérica e vamos precisar da fórmula composta de Simpson, que usa pontos igualmente espaçados em [0,1].

Passo 2

A regra composta de Simpson 1/3 para n subintervalos ( n par) divide o intervalo [a,b] em n partes de tamanho h=(b-a)/n. A fórmula é:
integrala^b f(x),dx approx h3l[f(x0)+4sumj,ímparf(xj)+2sumj,par,,jí

Passo 3

Para 3 pontos usamos n=2 subintervalos. Logo
h=1-02=0.5, x0=0,;x1=0.5,;x2=1
Calculamos f(x)=cos^2(x):
f(x0)=1,;f(x1)=cos^2(0.5)approx0.770151,;f(x2)=cos^2(1)approx0.291927
Aplicando Simpson:
integral0^1cos^2(x),dxapprox0.53l[f(x0)+4f(x1)+f(x2)r]=0.53(1+4cdot0.770151+0.291927)approx0.72876

Passo 4

Para 5 pontos usamos n=4 subintervalos. Logo
h=1-04=0.25, xi=0,0.25,0.5,0.75,1
Calculamos:
f(x0)=1,;f(x1)=cos^2(0.25)approx0.938791,;f(x2)=0.770151,;f(x3)=cos^2(0.75)approx0.535366,;f(x4)=0.291927
Aplicando Simpson composta:
integral0^1cos^2(x),dxapprox0.253l[f(x0)+4(f(x1)+f(x3))+2f(x2)+f(x4)r]approx0.72740

Resposta

Aproximação com 3 pontos: 0.72876; com 5 pontos: 0.72740

Exercícios relacionados