Usando a regra de Simpson, calcule o valor de integral1^2 d xx com erro inferior a 10^-4. Compare o resultado com o valor ln (2).

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral integral1^2dxx usando a regra composta de Simpson de forma que o erro seja inferior a 10^-4, e depois comparar o resultado obtido com ln(2). Vamos usar teoria de Newton–Cotes (Simpson) e a estimativa de erro baseada na derivada de quarta ordem.

Passo 2

Para aplicar o critério de erro de Simpson, lembro que a fórmula para o erro ES na regra composta com n subintervalos é
|ES| <= (b-a)^5180,n^4 maxxiin[a,b] |f^(4)(xi)|
No nosso caso f(x)=1/x e [a,b]=[1,2].

Passo 3

Calculo as derivadas de f:
f'(x)=-1x^2, f''(x)=2x^3, f^(3)(x)=-6x^4, f^(4)(x)=24x^5
Como |f^(4)(x)|=24/x^5 decresce em [1,2], o máximo ocorre em x=1, ou seja M=24.

Passo 4

Substituo no limite de erro:
|ES| <= (2-1)^5180,n^4 cdot 24 = 24180,n^4 = 215,n^4
Queremos 2/(15,n^4) <= 10^-4.

Passo 5

Resolvo para n:
215,n^4 <= 10^-4 Longrightarrow n^4 >= 215times10^-4 = 1333,33Longrightarrow n >= 1333,33^1/4 approx 6,04
Como n deve ser par, escolhemos n=8.

Passo 6

Agora aplico a regra composta de Simpson com n=8. O passo é h=(2-1)/8=0,125 e os nós são
xi = 1 + i h, i=0,1,dots,8,
com valores
f(x0)&=1, f(x1)=tfrac11,125, f(x2)=tfrac11,25, dots, f(x8)=tfrac12=0,5

Passo 7

Faço a soma de Simpson:
integral1^2dxx approx h3l[f(x0)+4sumímparf(xi)+2sumpar, ine0,8f(xi)+f(x8)r]approx0,6931545 í

Passo 8

O valor exato é ln(2)approx0,6931472. A diferença é de cerca de 7,3times10^-6, que é menor que 10^-4, conforme desejado.

Resposta

Com n=8 subintervalos, a regra de Simpson dá aproximadamente
0,6931545
ln(2)approx0,6931472, e a diferença é approx7,3times10^-6<10^-4.

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