Sabendo-se que a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de um certo corpo de massa m de t0 a t1 é
Q=m integralt0^t1 C(theta) d theta
onde C(theta) é o calor específico do corpo à temperatura theta, calcular a quantidade de calor necessária para elevar 20 Kg de água de 0^circ C a 100^circ C.
Para a agua, temos:
theta( ^circ C) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
C(theta)(Kcal / Kg^circ C) 999,9 999,7 998,2 995,3 992,3 988,1 983,2 977,8 971,8 965,3 958,4

Passo 1

Vamos usar a fórmula geral para calor: temos Q = m integralt0^t1 C(theta),dtheta, onde aqui m=20,Kg, t0=0^circ C, t1=100^circ C e C(theta) está na tabela dada.

Passo 2

Como só temos valores de C(theta) em pontos discretos (em intervalos de 10^circ C), vamos aproximar a integral por uma regra numérica. Escolhemos a regra de Simpson, pois temos n=10 subintervalos (número par) de comprimento h=dfrac100-010=10. A regra de Simpson diz:
integral0^100 C(theta),dtheta approx h3l[C0 + 4(C10+C30+dots+C90) + 2(C20+C40+dots+C80) + C100r]

Passo 3

Agora computamos os somatórios usando os dados da tabela:
  • C0 + C100 = 999.9 + 958.4 = 1958.3
  • Soma dos índices ímpares ( 10,30,50,70,90): 999.7+995.3+988.1+977.8+965.3 = 4926.2
  • Soma dos índices pares ( 20,40,60,80): 998.2+992.3+983.2+971.8 = 3945.5

Passo 4

Substituindo na regra de Simpson temos:
integral0^100 C(theta),dtheta approx 103l[1958.3 + 4cdot4926.2 + 2cdot3945.5r] = 103times29554.1 = 98513.667 (Kcal/kg)

Passo 5

Por fim, multiplicamos pela massa m=20,Kg:
Q = 20 times 98513.667 = 1970273.33 Kcal

Resposta

A quantidade de calor necessária é aproximadamente 1,97times10^6 Kcal.

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