Seja I=integral0^1 cos ^2(x) d x
a) Usando a fórmula de quadratura de Gauss com 2 e 3 pontos, calcular o valor aproximado de I;

Passo 1

A gente quer aproximar a integral I=integral0^1cos^2(x),dx usando quadratura de Gauss com 2 e 3 pontos. O conteúdo aqui é a fórmula de Gauss–Legendre, que nos diz como aproximar uma integral de [a,b] através de uma soma ponderada de valores de f em nós especiais, aproveitando que temos tabelados os nós xii e pesos wi no intervalo padrão [-1,1].

Passo 2

Para usar quadratura de Gauss no intervalo [0,1], fazemos a mudança linear de variável x=tfrac1+t2, com tin[-1,1]. A fórmula geral fica:

Passo 3

integral0^1f(x),dxapprox1-02sumi=1^n wi;f!gl(12+ti2gr)=12sumi=1^n wi;fl(1+ti2r)

Passo 4

Para n=2 (dois pontos), os nós e pesos no padrão [-1,1] são
x1=1+t12=1-1/raiz32, x2=1+t22=1+1/raiz32 .
Aplicando a transformação,
Calculamos
,


(com aproximações numéricas), e então

Passo 5

I2approx12l[f(x1)+f(x2)r]approx12(0.9559+0.4963)=0.7261

Passo 6

Para n=3 (três pontos), os dados em [-1,1] são
x1,3=1pmraiz3/52, x2=1+02=0.5 .
Transformando,
Avalia-se

(e novamente aproximado), e

Passo 7

I3approx12l(59f(x1)+89f(x2)+59f(x3)r) approx0.7274

Resposta

Usando 2 pontos: Iapprox0.7261. Usando 3 pontos: Iapprox0.7274.

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