Determine a área da região delimitada pela curva polar r=cos (2 theta) quando theta varia de 0 a pi / 4.

Passo 1

O enunciado pede a área da região no plano polar definida por r = cos(2θ) para θ variando de 0 a π/4. O conteúdo é coordenadas polares e precisamos usar a fórmula de área em coordenadas polares.

Passo 2

A área em coordenadas polares é dada por
A = 12 integralθ1^θ2 r(θ)^2 ,dθ
Aqui temos θ_1 = 0, θ_2 = π/4 e r(θ) = cos(2θ), então substituindo r na fórmula obtemos
A = 12 integral0^π/4 l(cos(2θ)r)^2 ,dθ
Para integrar vamos usar a identidade trigonométrica cos^2 x = tfrac12(1+cos(2x)).

Passo 3

Aplicando a identidade, o integrando fica
l(cos(2θ)r)^2 = 12l(1 + cos(4θ)r)
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A = 12 integral0^π/4 12l(1 + cos(4θ)r) ,dθ = 14 integral0^π/4 l(1 + cos(4θ)r) ,dθ

Passo 4

Agora integramos:
integral0^π/4 1 ,dθ = [θ]0^π/4 = π4, integral0^π/4 cos(4θ) ,dθ = [tfrac14sin(4θ)]0^π/4 = 0
Portanto
A = 14 cdot π4 = π16

Passo 5

Chegamos ao resultado final para a área da região pedida.

Resposta

π16

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