Determine a área da região delimitada pela curva polar
quando
varia de 0 a
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região no plano polar definida por r = cos(2θ) para θ variando de 0 a π/4. O conteúdo é coordenadas polares e precisamos usar a fórmula de área em coordenadas polares.
Passo 2
A área em coordenadas polares é dada por
Aqui temos θ_1 = 0, θ_2 = π/4 e r(θ) = cos(2θ), então substituindo r na fórmula obtemos
Para integrar vamos usar a identidade trigonométrica
.
Passo 3
Aplicando a identidade, o integrando fica
Logo
Passo 4
Agora integramos:
Portanto
Passo 5
Chegamos ao resultado final para a área da região pedida.