Seja I uma interpretação sobre o conjunto dos números naturais N, tal que I[a]=5, I[b]=3, I[x]=7, I[p(x)]=T Leftrightarrow xI<9, I[r(x)]=T Leftrightarrow xI>4, I[q(x)]=T Leftrightarrow xI=7. Determine o resultado da interpretação de cada uma das fórmulas a seguir, segundo I.

Passo 1

A questão pede para determinar o valor de verdade, segundo a interpretação I, da fórmula
((\exists z)(p(x) \leftrightarrow r(x))) \leftrightarrow ((\exists x)p(x) \leftrightarrow (\exists x)r(x)). O conteúdo é Lógica de Predicados e semântica de quantificadores; vamos usar a atribuição de constantes e predicados dada por I.

Passo 2

Segundo I, x_I = 7. Assim, p(x) é verdadeiro porque 7 < 9, e r(x) é verdadeiro porque 7 > 4. Logo, p(x) \leftrightarrow r(x) = T.

Passo 3

Como z não aparece em p(x) \leftrightarrow r(x), a sentença dentro de (\exists z) é invariante; basta que p(x) \leftrightarrow r(x) seja T para que (\exists z)(p(x) \leftrightarrow r(x)) seja T.

Passo 4

Agora avaliamos (\exists x)p(x): existe algum n \in \mathbb{N} tal que n < 9? Sim, por exemplo n = 0, logo (\exists x)p(x) = T. De modo semelhante, existe algum m \in \mathbb{N} tal que m > 4? Sim, m = 5, então (\exists x)r(x) = T.

Passo 5

Com isso, (\exists x)p(x) \leftrightarrow (\exists x)r(x) = T \leftrightarrow T = T.

Passo 6

Finalmente, a fórmula toda é T \leftrightarrow T, o que resulta em T.

Resposta

T

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