Seja
uma interpretação sobre o conjunto dos números naturais
, tal que
. Determine o resultado da interpretação de cada uma das fórmulas a seguir, segundo
.
Passo 1
A questão pede para determinar o valor de verdade, segundo a interpretação I, da fórmula
((\exists z)(p(x) \leftrightarrow r(x))) \leftrightarrow ((\exists x)p(x) \leftrightarrow (\exists x)r(x)). O conteúdo é Lógica de Predicados e semântica de quantificadores; vamos usar a atribuição de constantes e predicados dada por I.
((\exists z)(p(x) \leftrightarrow r(x))) \leftrightarrow ((\exists x)p(x) \leftrightarrow (\exists x)r(x)). O conteúdo é Lógica de Predicados e semântica de quantificadores; vamos usar a atribuição de constantes e predicados dada por I.
Passo 2
Segundo I, x_I = 7. Assim, p(x) é verdadeiro porque 7 < 9, e r(x) é verdadeiro porque 7 > 4. Logo, p(x) \leftrightarrow r(x) = T.
Passo 3
Como z não aparece em p(x) \leftrightarrow r(x), a sentença dentro de (\exists z) é invariante; basta que p(x) \leftrightarrow r(x) seja T para que (\exists z)(p(x) \leftrightarrow r(x)) seja T.
Passo 4
Agora avaliamos (\exists x)p(x): existe algum n \in \mathbb{N} tal que n < 9? Sim, por exemplo n = 0, logo (\exists x)p(x) = T. De modo semelhante, existe algum m \in \mathbb{N} tal que m > 4? Sim, m = 5, então (\exists x)r(x) = T.
Passo 5
Com isso, (\exists x)p(x) \leftrightarrow (\exists x)r(x) = T \leftrightarrow T = T.
Passo 6
Finalmente, a fórmula toda é T \leftrightarrow T, o que resulta em T.
Resposta
T