Seja a=2 i-3 j+k e b=4 i-2 j-3 k. Seja c=a times b. Encontre o ângulo entre a e b.

Passo 1

Beleza, então a gente tem duas vetores aqui: a = 2 i - 3 j + k e b = 4 i - 2 j - 3 k. A gente quer descobrir o ângulo entre esses dois vetores. Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar e módulo de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre a e b. O produto escalar é dado por:
a cdot b = ax bx + ay by + az bz
Substituindo os valores:
a cdot b = (2)(4) + (-3)(-2) + (1)(-3) = 8 + 6 - 3 = 11

Passo 3

Agora, vamos encontrar o módulo (ou comprimento) de cada vetor. A fórmula para o módulo de um vetor v = vx i + vy j + vz k é:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Para a:
|a| = raiz2^2 + (-3)^2 + 1^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14
Para b:
|b| = raiz4^2 + (-2)^2 + (-3)^2 = raiz16 + 4 + 9 = raiz29

Passo 4

Com o produto escalar e os módulos, podemos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo theta entre os vetores:
cos theta = a cdot b|a| cdot |b|
Substituindo os valores:
cos theta = 11raiz14 cdot raiz29 = 11raiz406
Agora, para encontrar o ângulo theta, aplicamos a função arco cosseno:
theta = arccos(11raiz406)
Calculando isso, obtemos o valor aproximado do ângulo.

Resposta

O ângulo entre a e b é aproximadamente 38,2^circ.

Exercícios relacionados