Usando a definição de derivada, verifique se as funções a seguir são deriváveis em x0. Se existir, determine f^prime(x0).
f(x)=cos (x), x0=pi / 6

Passo 1

O enunciado pede verificar se a função f(x)=cos(x) é derivável em x0=tfracpi6 usando a definição de derivada, e, em caso afirmativo, calcular f'l(x0r).

Passo 2

Escrevemos a definição de derivada em x0:
f'(x0) = limh to 0 cosl(x0+hr) - cosl(x0r)h
Aplicamos a identidade trigonométrica
cos(a) - cos(b) = -2,sin!l(tfraca+b2r),sin!l(tfraca-b2r)
com a = tfracpi6 + h e b = tfracpi6. Assim,
cosl(tfracpi6+hr)-cosl(tfracpi6r)h = -2,sin!l(tfracpi6+tfrach2r),sin!l(tfrach2r)h

Passo 3

Reescrevemos o quociente separando o fator sin(tfrach2):
-2,sin!l(tfracpi6+tfrach2r),sin!l(tfrach2r)h = -sin!l(tfracpi6+tfrach2r),sin!l(tfrach2r)tfrach2
Ao fazer hto0, temos sin!l(tfrach2r)/(tfrach2)to1 e
sin!l(tfracpi6+tfrach2r)tosin!l(tfracpi6r)=tfrac12. Logo,
f'(x0) = -tfrac12

Resposta

A função é derivável em x0=tfracpi6 e
f'l(tfracpi6r) = -tfrac12

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