Calcule o comprimento das seguintes curvas dadas na forma polar:
(h) r=a sen^3(theta3), 0 <= theta <= pi2

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva polar
r = a sin^3!l(tfractheta3r), 0 <= theta <= tfracpi2
Para curvas em coordenadas polares usamos a fórmula
L = integraltheta1^theta2 raizr^2 + l(drdthetar)^2,dtheta

Passo 2

Calculemos a derivada de r: seja u=tfractheta3, então
r = asin^3(u), drdtheta = acdot 3sin^2(u)cos(u)cdotdudtheta = a,sin^2(u)cos(u),
pois tfracdudtheta=1/3.

Passo 3

Formamos o integrando:
r^2 + l(drdthetar)^2 = a^2sin^6(u) + a^2sin^4(u)cos^2(u) = a^2sin^4(u)l(sin^2(u)+cos^2(u)r) = a^2sin^4(u)
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raizr^2+l(tfracdrdthetar)^2 = a,sin^2(u) = a,sin^2!l(tfractheta3r)

Passo 4

Substituindo em L e fazendo a mudança t=tfractheta3 ( dtheta=3,dt, de t=0 a t=tfracpi6),
L = integral0^pi/2 a,sin^2!l(tfractheta3r),dtheta =3aintegral0^pi/6sin^2(t),dt
Usando
sin^2(t)=1-cos(2t)2,
temos
integral0^pi/6sin^2(t),dt =12l[t-sin(2t)2r]0^pi/6 =12l(pi6-raiz3/22r) =pi12-raiz38
Multiplicando por 3a resulta
L = 3al(pi12-raiz38r) = api4-3araiz38

Resposta

L = api4 - 3araiz38

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