Seja A in M2 uma matriz simétrica (A^t=A). Mostre que ela é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda matriz Ain M2(R) simétrica ( A^t=A) é diagonalizável.
Conteúdo: cálculo do polinômio característico de uma matriz 2times2, estudo do discriminante para garantir autovalores reais, e aplicação do fato de que autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes.

Passo 2

Escrevendo
A = a & b b & d,
com a,b,dinR, o polinômio característico é
chiA(t)=det(A - tI) =(a - t)(d - t)-b^2 =t^2-(a+d),t+(ad - b^2)
O discriminante é
De<a = (a+d)^2 - 4,(ad - b^2) = (a - d)^2 + 4,b^2>= 0,
então A tem autovalores reais (podem ser iguais ou distintos).

Passo 3

Sejam lambda1 e lambda2 os autovalores de A.
Caso lambda1neqlambda2, é um fato geral que autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes em R^2. Logo há uma base de R^2 formada por autovetores de A, isto é, A é diagonalizável.

Passo 4

Se lambda1=lambda2=lambda, então De<a=0 implica
(a-d)^2+4b^2=0 Longrightarrow a=d e b=0
Assim
A=lambda & 00 & lambda =lambda I,
que já está em forma diagonal. Logo, novamente A é diagonalizável.

Resposta

Qualquer matriz simétrica Ain M2(R) é diagonalizável.

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