Seja
uma matriz simétrica
. Mostre que ela é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que toda matriz
simétrica (
) é diagonalizável.
Conteúdo: cálculo do polinômio característico de uma matriz , estudo do discriminante para garantir autovalores reais, e aplicação do fato de que autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes.
Conteúdo: cálculo do polinômio característico de uma matriz
Passo 2
Escrevendo
com
, o polinômio característico é
O discriminante é
então
tem autovalores reais (podem ser iguais ou distintos).
Passo 3
Sejam
e
os autovalores de
.
Caso , é um fato geral que autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes em
. Logo há uma base de
formada por autovetores de
, isto é,
é diagonalizável.
Caso
Passo 4
Se
, então
implica
Assim
que já está em forma diagonal. Logo, novamente
é diagonalizável.
Resposta
Qualquer matriz simétrica
é diagonalizável.