Seja A in Mn tal que, A^m=In para algum inteiro m. Mostre que a matriz A é invertível. Qual é a inversa da matriz A ?.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz AinMn e um inteiro m tal que
A^m=In
O conteúdo é sobre invertibilidade de matrizes e propriedades de potências. Para mostrar que A é invertível, vamos usar a definição de inversa de matriz e explorar o fato de que uma certa potência de A é a identidade.

Passo 2

Lembrando a definição: uma matriz A é invertível se existe uma matriz B tal que
A,B = B,A = In
Nosso objetivo é encontrar um candidato a B.

Passo 3

Observe que, se definirmos
B = A^m-1,
então usando a regra de potências de matrizes temos
A,B = A,A^m-1 = A^(m-1)+1 = A^m = In,
e de modo análogo
B,A = A^m-1,A = A^(m-1)+1 = A^m = In
Portanto B satisfaz as condições de inversa de A.

Resposta

A matriz A é invertível e sua inversa é
A^-1 = A^,m-1

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