Seja
tal que,
para algum inteiro
. Mostre que a matriz
é invertível. Qual é a inversa da matriz
?.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz
e um inteiro
tal que
O conteúdo é sobre invertibilidade de matrizes e propriedades de potências. Para mostrar que
é invertível, vamos usar a definição de inversa de matriz e explorar o fato de que uma certa potência de
é a identidade.
Passo 2
Lembrando a definição: uma matriz
é invertível se existe uma matriz
tal que
Nosso objetivo é encontrar um candidato a
.
Passo 3
Observe que, se definirmos
então usando a regra de potências de matrizes temos
e de modo análogo
Portanto
satisfaz as condições de inversa de
.
Resposta
A matriz
é invertível e sua inversa é