Seja a in R e considere a sequência cujo termo geral é xn=a^n. Prove que:
se a<-1, então (xn) diverge.

Passo 1

O enunciado define a sequência l(xnr) por
xn = a^n,
onde ainR, e pede para provar que, se a<-1, então l(xnr) diverge.
O conteúdo principal aqui é sequência geométrica, convergência/divergência de sequência e o fato de que toda sequência convergente é necessariamente limitada.

Passo 2

Observe que a<-1 implica
|a|>1
Logo, para todo ninN,
|xn| = |a^n| = |a|^n

Passo 3

Como |a|>1, a sequência geométrica l(|a|^nr) cresce sem limite. Mais precisamente, existe um resultado padrão que diz: se r>1, então
limntoinfty r^n = +infty
Aplicando com r=|a|, concluímos
limntoinfty|xn| ;=;limntoinfty|a|^n ;=;+infty

Passo 4

Como limntoinfty|xn|=+infty, a sequência l(xnr) é não limitada (os seus termos crescem em módulo sem parar). Mas um teorema fundamental de análise afirma que:
“toda sequência convergente em R é limitada”.
Pelo contraposso, se uma sequência não é limitada, ela não pode convergir. Portanto l(xnr) diverge.

Resposta

A sequência diverge quando a<-1.

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