Seja
e considere a sequência cujo termo geral é
. Prove que:
se
, então
diverge.
se
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
onde
, e pede para provar que, se
, então
diverge.
O conteúdo principal aqui é sequência geométrica, convergência/divergência de sequência e o fato de que toda sequência convergente é necessariamente limitada.
O conteúdo principal aqui é sequência geométrica, convergência/divergência de sequência e o fato de que toda sequência convergente é necessariamente limitada.
Passo 2
Observe que
implica
Logo, para todo
,
Passo 3
Como
, a sequência geométrica
cresce sem limite. Mais precisamente, existe um resultado padrão que diz: se
, então
Aplicando com
, concluímos
Passo 4
Como
, a sequência
é não limitada (os seus termos crescem em módulo sem parar). Mas um teorema fundamental de análise afirma que:
“toda sequência convergente em é limitada”.
Pelo contraposso, se uma sequência não é limitada, ela não pode convergir. Portanto diverge.
“toda sequência convergente em
Pelo contraposso, se uma sequência não é limitada, ela não pode convergir. Portanto
Resposta
A sequência diverge quando
.