Seja a in R e considere a sequência cujo termo geral é xn=a^n. Prove que:
se -1<a<1, então (xn) converge e lim a^n=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se -1<a<1, a sequência definida por
xn=a^n
converge e que
limntoinftya^n=0
O conteúdo envolvido é o estudo de sequências geométricas e o uso da definição de limite de sequência ( epsilon-N) e propriedades do logaritmo.

Passo 2

Pela definição de limite, queremos que, dado varepsilon>0, exista NinN tal que para todo n>= N
l|xn-0r|<varepsilon
Mas
l|xn-0r|=l|a^nr|=l|ar|^n
Como -1<a<1, temos q=lvert arvertin(0,1). Então basta garantir
q^n<varepsilon

Passo 3

Para resolver q^n<varepsilon usamos logaritmo (sabendo que ln q<0 porque 0<q<1). Tomando ln dos dois lados:
lnl(q^nr)<ln(varepsilon) Longrightarrow n,ln q<lnvarepsilon
Como ln q<0, invertemos a desigualdade:
n>lnvarepsilonln q
Definimos então
N = lceil lnvarepsilonln qrceil

Passo 4

Para esse N, sempre que n>= N teremos
lvert a^nrvert = q^n < varepsilon
Isso mostra exatamente que, segundo o critério epsilon-N,
limntoinftya^n=0

Resposta

limntoinftya^n=0quando -1<a<1

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