Seja
e considere a sequência cujo termo geral é
. Prove que:
se
, então
converge e
.
se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
, a sequência definida por
converge e que
O conteúdo envolvido é o estudo de sequências geométricas e o uso da definição de limite de sequência (
-N) e propriedades do logaritmo.
Passo 2
Pela definição de limite, queremos que, dado
, exista
tal que para todo
Mas
Como
-1<a<1 , temos
q=lvert arvertin(0,1) . Então basta garantir
Passo 3
Para resolver
q^n<varepsilon usamos logaritmo (sabendo que
ln q<0 porque
0<q<1 ). Tomando
ln dos dois lados:
Como
ln q<0 , invertemos a desigualdade:
Definimos então
Passo 4
Para esse
N , sempre que
n>= N teremos
Isso mostra exatamente que, segundo o critério
epsilon -N,