Seja e considere a sequência cujo termo geral é . Prove que:
se , então converge e .
Passo 1
O enunciado define a sequência por
onde . Precisamos estudar o caso e mostrar que então converge a . Para isso, usaremos a definição de convergência de sequência: dizemos que converge a se, para todo , existe tal que, para todo ,
Passo 2
Suponha a=1. Então, para todo ninN,
xn = 1^n = 1
Logo (xn) é a sequência constante 1,1,1,dots. Seja agora um varepsilon>0 arbitrário. Se tomarmos, por exemplo, N=1, então para todo n>= N vale
l|xn - 1r| = l|1 - 1r| = 0 < varepsilon
Isso mostra, pela definição de limite de sequência, que (xn) converge a 1.