Seja a in R e considere a sequência cujo termo geral é xn=a^n. Prove que:
se a=1, então (xn) converge e lim a^n=1.

Passo 1

O enunciado define a sequência (xn) por
xn = a^n,
onde ainR. Precisamos estudar o caso a=1 e mostrar que então (xn) converge a 1. Para isso, usaremos a definição de convergência de sequência: dizemos que (xn) converge a L se, para todo varepsilon>0, existe NinN tal que, para todo n>= N,
l|xn - Lr| < varepsilon

Passo 2

Suponha a=1. Então, para todo ninN,
xn = 1^n = 1
Logo (xn) é a sequência constante 1,1,1,dots. Seja agora um varepsilon>0 arbitrário. Se tomarmos, por exemplo, N=1, então para todo n>= N vale
l|xn - 1r| = l|1 - 1r| = 0 < varepsilon
Isso mostra, pela definição de limite de sequência, que (xn) converge a 1.

Resposta

A sequência converge e
limntoinfty1^n = 1

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