Seja e considere a sequência cujo termo geral é . Prove que:
se a sequência é limitada, mas diverge.
Passo 1
O enunciado pede para estudarmos a sequência definida por no caso particular , ou seja
O objetivo é mostrar que essa sequência é limitada (existe uma barreira superior e inferior fixa) mas não converge para nenhum valor real (diverge).
Passo 2
Definição de sequência limitada: \emph{existe} tal que para todo .
No nosso caso, para todo vale
Logo, basta escolher M=1. Assim
lvert xnrvert <= 1forall n,
portanto l(xnr) é limitada.
Passo 3
Definição de convergência: l(xnr) converge para L se, para toda vizinhança de L, quase todos os xn estão nela. Um critério útil é que toda subsequência de uma sequência convergente também converge para o mesmo limite.
Considere duas subsequências:
x2k = (-1)^2k = 1, x2k+1 = (-1)^2k+1 = -1
Se a sequência original tivesse limite L, ambas subsequências teriam que convergir para L. Mas
limktoinfty x2k = 1 e limktoinfty x2k+1 = -1,
o que é impossível pois 1 neq -1. Logo não existe L que seja limite de toda a sequência.
Passo 4
Concluímos que, embora lvert xnrvert seja sempre 1 (sequência limitada), não há valor L para o qual xnto L. Portanto a sequência diverge.
Resposta
A sequência xn = (-1)^n é limitada (basta M=1) mas não converge, isto é, diverge.