Seja a in R e considere a sequência cujo termo geral é xn=a^n. Prove que:
se a=-1 a sequência (xn) é limitada, mas diverge.

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a sequência definida por xn = a^n no caso particular a=-1, ou seja
xn = (-1)^n
O objetivo é mostrar que essa sequência é limitada (existe uma barreira superior e inferior fixa) mas não converge para nenhum valor real (diverge).

Passo 2

Definição de sequência limitada: \emph{existe} M>0 tal que lvert xnrvert <= M para todo n.
No nosso caso, para todo n vale
lvert xnrvert = llvert(-1)^nrrvert = 1
Logo, basta escolher M=1. Assim
lvert xnrvert <= 1forall n,
portanto l(xnr) é limitada.

Passo 3

Definição de convergência: l(xnr) converge para L se, para toda vizinhança de L, quase todos os xn estão nela. Um critério útil é que toda subsequência de uma sequência convergente também converge para o mesmo limite.
Considere duas subsequências:
x2k = (-1)^2k = 1, x2k+1 = (-1)^2k+1 = -1
Se a sequência original tivesse limite L, ambas subsequências teriam que convergir para L. Mas
limktoinfty x2k = 1 e limktoinfty x2k+1 = -1,
o que é impossível pois 1 neq -1. Logo não existe L que seja limite de toda a sequência.

Passo 4

Concluímos que, embora lvert xnrvert seja sempre 1 (sequência limitada), não há valor L para o qual xnto L. Portanto a sequência diverge.

Resposta

A sequência xn = (-1)^n é limitada (basta M=1) mas não converge, isto é, diverge.

Exercícios relacionados