Seja A in R^m times n uma matriz. Seja x in N(A), um vetor do espaço nulo de A. Mostre que x é ortogonal a todas colunas de A^prime.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz AinR^mtimes n e um vetor x tais que xinN(A), isto é,
A,x = 0
Precisamos mostrar que x é ortogonal a cada coluna de A' (a transposta de A). Para isso, vamos usar a definição de ortogonalidade via produto interno e a forma de calcular A,x.

Passo 2

Seja a'j a j-ésima coluna de A'. Por definição de transposição, a'j é exatamente a j-ésima linha de A escrita como vetor em R^n. Dizer que x é ortogonal a a'j significa
lang<= x,,a'jrang<= ;=; 0

Passo 3

Observe que o produto interno lang<= x,,a'jrang<= coincide com o j-ésimo componente de A,x, pois
(A,x)j ;=;(j)-ésima linha de (A);cdot;x ;=;lang<= a'j,,xrang<= é
Mas como xinN(A), temos A,x=0, logo cada componente (A,x)j=0. Portanto
lang<= x,,a'jrang<= = 0 para todo j,
o que prova que x é ortogonal a todas as colunas de A'.

Resposta

x é ortogonal a cada coluna de A'.

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