Seja
uma matriz. Seja
, um vetor do espaço nulo de
. Mostre que
é ortogonal a todas colunas de
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz
e um vetor
tais que
, isto é,
Precisamos mostrar que
é ortogonal a cada coluna de
(a transposta de
). Para isso, vamos usar a definição de ortogonalidade via produto interno e a forma de calcular
.
Passo 2
Seja
a
-ésima coluna de
. Por definição de transposição,
é exatamente a
-ésima linha de
escrita como vetor em
. Dizer que
é ortogonal a
significa
Passo 3
Observe que o produto interno
coincide com o
-ésimo componente de
, pois
Mas como
, temos
, logo cada componente
. Portanto
o que prova que
é ortogonal a todas as colunas de
.