Seja
uma matriz não singular, ou seja, todas as colunas de
são LI. Sejam
e
vetores
. Mostre que
e
são LI.
Passo 1
O enunciado diz que
é não singular (ou seja, invertível) e que
são linearmente independentes. Queremos mostrar que as imagens
e
também são linearmente independentes. Para isso, vamos usar a propriedade fundamental de uma matriz invertível: o núcleo de
é trivial, isto é,
Passo 2
Suponha, por absurdo, que exista uma combinação linear não trivial que anule
e
. Ou seja, sejam escalares
tais que
Passo 3
Como a multiplicação é distributiva, podemos fatorar
nesta soma:
Mas
é invertível, logo seu núcleo é só o vetor zero. Portanto
Passo 4
Como
e
são linearmente independentes, a única solução de
é
e
. Concluímos que a única combinação que anula
e
é a trivial, o que prova que
e
são linearmente independentes.