Seja A in R^n times n uma matriz não singular, ou seja, todas as colunas de A são LI. Sejam v in R^n e w in R^n vetores L I. Mostre que A v e A w são LI.

Passo 1

O enunciado diz que AinR^ntimes n é não singular (ou seja, invertível) e que v,winR^n são linearmente independentes. Queremos mostrar que as imagens Av e Aw também são linearmente independentes. Para isso, vamos usar a propriedade fundamental de uma matriz invertível: o núcleo de A é trivial, isto é,
ker(A)=0

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista uma combinação linear não trivial que anule Av e Aw. Ou seja, sejam escalares alpha,betainR tais que
alpha,(Av);+;beta,(Aw);=;0

Passo 3

Como a multiplicação é distributiva, podemos fatorar A nesta soma:
alpha,Av+beta,Aw ;=; Al(alpha,v+beta,wr) ;=; 0
Mas A é invertível, logo seu núcleo é só o vetor zero. Portanto
alpha,v+beta,w = 0

Passo 4

Como v e w são linearmente independentes, a única solução de
alpha,v+beta,w=0
é alpha=0 e beta=0. Concluímos que a única combinação que anula Av e Aw é a trivial, o que prova que Av e Aw são linearmente independentes.

Resposta

Av e Aw são linearmente independentes.

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