Sejam A e Q duas matrizes de dimensões apropriadas, onde Q possui a estrutura de composição de vetores coluna Q=[llllq1 & q2 & cdots & qn]. Mostre que
A Q=[llll A q1 & A q2 & cdots & A qn ]

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A (de dimensão mtimes p) e
Q = q1 & q2 & cdots & qn
(onde cada qj é um vetor coluna em R^p), e pede para mostrar que
A,Q = A q1 & A q2 & cdots & A qn
O conteúdo é multiplicação de matrizes e a propriedade de como ela age em colunas.

Passo 2

Lembremos que, para qualquer matriz M de dimensão mtimes n e qualquer base canônica e1,dots,en de R^n, vale
M,ej = j-ésima coluna de M é

Passo 3

Usando essa propriedade em M = A,Q, para cada j=1,dots,n temos
(A,Q),ej ;=; A,(Q,ej)
Mas por construção de Q,
Q,ej = qj
Logo
(A,Q),ej = A,qj,
ou seja, a j-ésima coluna de A,Q é exatamente A,qj.

Passo 4

Como isso vale para todo j=1,dots,n, concluímos que
A,Q = A q1 & A q2 & cdots & A qn

Resposta

A,Q = A q1 & A q2 & cdots & A qn

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