Verifique se as séries são convergentes através do Teste da Série Alternada. Se o teste for inconclusivo, diga isso.
sumn=1^infty(-1)^n+1 cdot n+3n(n+1)

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty(-1)^n+1n+3n(n+1)
O conteúdo é o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Para aplicá-lo, precisamos verificar que, para
an = n+3n(n+1),
temos 1) limntoinftyan=0 e 2) an é uma sequência não crescente a partir de certo n.

Passo 2

Calcular o limite de an:
limntoinftyan =limntoinftyn+3n^2+n =limntoinfty1+3/nn+1 =0

Passo 3

Verificar que an é decrescente, calculando
an - an+1 =n+3n(n+1)-n+4(n+1)(n+2) =(n+3)(n+2)-(n+4)nn(n+1)(n+2) =n+6n(n+1)(n+2)>0
para todo n>=1. Logo an+1<an.

Passo 4

Como limntoinftyan=0 e (an) é decrescente, a série converge pelo Teste da Série Alternada. Note que não converge absolutamente, pois sum an comporta-se como sum1/n, divergente.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo Teste da Série Alternada.

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