Seja f: R (1, infty) diferenciável e suponha que x^2 ln (f(x))=3, para todo x neq 0. Mostre que, para todo x neq 0, vale
f^prime(x)=1f(x)^2 f(x)

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita x²·ln(f(x))=3 para todo x≠0. O conteúdo aqui é diferenciação implícita e vamos usar: ao derivar uma função composta ln(f(x)), o resultado é f′(x)/f(x).

Passo 2

Derivando ambos os lados de x²·ln(f(x))=3 em relação a x, temos: 2x·ln(f(x)) + x²·(1/f(x))·f′(x) = 0.

Passo 3

Isolando f′(x), obtemos: (x²/f(x))·f′(x) = −2x·ln(f(x))
⇒ f′(x) = −2x·ln(f(x))·(f(x)/x²) = −2·(f(x)·ln(f(x)))/x.

Passo 4

Como ln(f(x)) = 3/x² (da relação inicial), substituímos na expressão de f′(x): f′(x) = −2·f(x)·(3/x²)/x = −6·f(x)/x³.

Passo 5

Portanto, a derivada correta é f′(x)=−6·f(x)/x³, e não a expressão indicada no enunciado.

Resposta

f′(x)=−6·f(x)/x³

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