Seja
diferenciável e suponha que
, para todo
. Mostre que, para todo
, vale
Passo 1
O enunciado nos dá a relação implícita x²·ln(f(x))=3 para todo x≠0. O conteúdo aqui é diferenciação implícita e vamos usar: ao derivar uma função composta ln(f(x)), o resultado é f′(x)/f(x).
Passo 2
Derivando ambos os lados de x²·ln(f(x))=3 em relação a x, temos: 2x·ln(f(x)) + x²·(1/f(x))·f′(x) = 0.
Passo 3
Isolando f′(x), obtemos: (x²/f(x))·f′(x) = −2x·ln(f(x))
⇒ f′(x) = −2x·ln(f(x))·(f(x)/x²) = −2·(f(x)·ln(f(x)))/x.
⇒ f′(x) = −2x·ln(f(x))·(f(x)/x²) = −2·(f(x)·ln(f(x)))/x.
Passo 4
Como ln(f(x)) = 3/x² (da relação inicial), substituímos na expressão de f′(x): f′(x) = −2·f(x)·(3/x²)/x = −6·f(x)/x³.
Passo 5
Portanto, a derivada correta é f′(x)=−6·f(x)/x³, e não a expressão indicada no enunciado.
Resposta
f′(x)=−6·f(x)/x³