Dada a condição inicial
, encontre a solução
para a distribuição de temperatura ao longo do tempo.
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação do calor unidimensional com condição inicial
. O conteúdo é separação de variáveis e séries de Fourier para o problema homogêneo com contornos
. Vamos usar também a constante de difusividade térmica
.
Passo 2
Partimos da equação do calor
é aplicável separar as variáveis supondo
. Substituindo e dividindo por
obtemos
onde
é constante de separação.
Passo 3
A equação espacial fica
com contornos
. Isso gera autovalores
e autofunções
Passo 4
A parte temporal correspondente é
cuja solução é
Passo 5
A solução geral é série:
Os coeficientes
vêm da projeção de
nas
.
Passo 6
Como
já é um único modo
, temos
e
.
Passo 7
Portanto, a solução reduz-se ao modo
: