Dada a condição inicial f(x)=100 sin (pi xL), encontre a solução T(x, t) para a distribuição de temperatura ao longo do tempo.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação do calor unidimensional com condição inicial f(x)=100sin(tfracpi xL). O conteúdo é separação de variáveis e séries de Fourier para o problema homogêneo com contornos T(0,t)=T(L,t)=0. Vamos usar também a constante de difusividade térmica alpha.

Passo 2

Partimos da equação do calor
partial Tpartial t=alphapartial^2 Tpartial x^2,
é aplicável separar as variáveis supondo T(x,t)=X(x),G(t). Substituindo e dividindo por XG obtemos
1alpha GdGdt=1Xd^2Xdx^2=-lambda,
onde lambda é constante de separação.

Passo 3

A equação espacial fica
X''+lambda X=0,
com contornos X(0)=X(L)=0. Isso gera autovalores lambdan=(npi/L)^2 e autofunções
Xn(x)=sinl(npi xLr)

Passo 4

A parte temporal correspondente é
G'(t)=-alphalambdan G(t)
cuja solução é
Gn(t)=e^-alpha(npi/L)^2,t

Passo 5

A solução geral é série:
T(x,t)=sumn=1^infty Bnsinl(npi xLr)e^-alpha(npi/L)^2 t
Os coeficientes Bn vêm da projeção de f(x) nas sin(npi x/L).

Passo 6

Como f(x)=100sin(pi x/L) já é um único modo n=1, temos B1=100 e Bn>=2=0.

Passo 7

Portanto, a solução reduz-se ao modo n=1:
T(x,t)=100sinl(pi xLr)e^-alpha(pi/L)^2 t

Resposta

T(x,t)=100sinl(pi xLr)expl(-alphatfracpi^2L^2tr)

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