Seja f:] 1,+\infty[\rightarrow \mathbb{R} tal que f(x)=\left\{\begin{array}{c} a \text { se } x=2 \\ \frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt[3]{x-1}-1} \end{array} \text { se } x \neq 2\right. Determine a para que a função f(x) seja contínua em x=2. Passo 1O enunciado define f(x)= \begin{cases} a, & x=2,\\[6pt] \dfrac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt[3]{x-1}-1}, & x\neq2, \end{cases} em (1,+\infty) e pede a para que f seja contínua em x=2. Para isso precisamos que a=\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt[3]{x-1}-1}.] Passo 2Observamos na forma \frac{0}{0}, pois ao substituir x=2 tanto o numerador \sqrt{4}-2 quanto o denominador \sqrt[3]{1}-1 valem zero. Para eliminar essa indeterminação, fatoramos x-2 em cada parte: – Numerador: \sqrt{x+2}-2 = \frac{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)}{\sqrt{x+2}+2} = \frac{x+2-4}{\sqrt{x+2}+2} = \frac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}. – Denominador: seja y=\sqrt[3]{x-1}. Então y-1 =\frac{y^3-1}{y^2+y+1} =\frac{(x-1)-1}{y^2+y+1} =\frac{x-2}{\sqrt[3]{(x-1)^2}+\sqrt[3]{x-1}+1}. Passo 3Substituindo essas expressões na fração original, obtemos \frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt[3]{x-1}-1} =\frac{\displaystyle\frac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}} {\displaystyle\frac{x-2}{\sqrt[3]{(x-1)^2}+\sqrt[3]{x-1}+1}} =\frac{\sqrt[3]{(x-1)^2}+\sqrt[3]{x-1}+1}{\sqrt{x+2}+2}. Agora podemos calcular o limite direto em x=2. Passo 4Em x=2 temos \sqrt{x+2}+2 = \sqrt{4}+2 = 4, \quad \sqrt[3]{(x-1)^2}+\sqrt[3]{x-1}+1 = 1+1+1 = 3. Logo \lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt[3]{x-1}-1} =\frac{3}{4}. Passo 5Para f ser contínua em x=2, deve valer a = \frac{3}{4}. Resposta a=\displaystyle\frac{3}{4}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosUse a fórmula do exercício anterior para mostrar que, se \alpha é a curva gerada pelo gráfico de uma função y=f(x), então a curvatura de \alpha é dada por k=\frac{\left|f^{\prime \prime}\right|}{\left(1+\left(f^{\prime}\right)^{2}\right)^{3 / 2}} Calcule a curvatura das curvas nos pontos especificados: \alpha(t)=\left(e^{t}, e^{-t}, t \sqrt{2}\right) ;(1,1,0). Calcule \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg}\left(3 x^{2}\right)+\operatorname{sen}^{2}(5 x)}{x^{2}}. q Calcule \lim _{\mathrm{x} \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}+x+1}}}{x+5}. \sqrt{x^{3}}=|x|