Seja f:] 1,+\infty[\rightarrow \mathbb{R} tal que
f(x)=\left\{\begin{array}{c} a \text { se } x=2 \\ \frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt[3]{x-1}-1} \end{array} \text { se } x \neq 2\right.
Determine a para que a função f(x) seja contínua em x=2.

Passo 1

O enunciado define
f(x)= \begin{cases} a, & x=2,\\[6pt] \dfrac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt[3]{x-1}-1}, & x\neq2, \end{cases}
em (1,+\infty) e pede a para que f seja contínua em x=2.
Para isso precisamos que
a=\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt[3]{x-1}-1}.]

Passo 2

Observamos na forma \frac{0}{0}, pois ao substituir x=2 tanto o numerador \sqrt{4}-2 quanto o denominador \sqrt[3]{1}-1 valem zero. Para eliminar essa indeterminação, fatoramos x-2 em cada parte:
– Numerador:
\sqrt{x+2}-2 = \frac{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)}{\sqrt{x+2}+2} = \frac{x+2-4}{\sqrt{x+2}+2} = \frac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}.
– Denominador: seja y=\sqrt[3]{x-1}. Então
y-1 =\frac{y^3-1}{y^2+y+1} =\frac{(x-1)-1}{y^2+y+1} =\frac{x-2}{\sqrt[3]{(x-1)^2}+\sqrt[3]{x-1}+1}.

Passo 3

Substituindo essas expressões na fração original, obtemos
\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt[3]{x-1}-1} =\frac{\displaystyle\frac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}} {\displaystyle\frac{x-2}{\sqrt[3]{(x-1)^2}+\sqrt[3]{x-1}+1}} =\frac{\sqrt[3]{(x-1)^2}+\sqrt[3]{x-1}+1}{\sqrt{x+2}+2}.
Agora podemos calcular o limite direto em x=2.

Passo 4

Em x=2 temos
\sqrt{x+2}+2 = \sqrt{4}+2 = 4, \quad \sqrt[3]{(x-1)^2}+\sqrt[3]{x-1}+1 = 1+1+1 = 3.
Logo
\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt[3]{x-1}-1} =\frac{3}{4}.

Passo 5

Para f ser contínua em x=2, deve valer
a = \frac{3}{4}.

Resposta

a=\displaystyle\frac{3}{4}.

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