Calcule \lim _{\mathrm{x} \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}+x+1}}}{x+5}.
\sqrt{x^{3}}=|x|

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}+x+1}}}{\,x+5\,}.
O conteúdo é cálculo de limite no infinito, com indeterminação do tipo \infty/\infty. Vamos usar fatoração de potências de x para simplificar.

Passo 2

Observamos que, quando x\to -\infty, tanto o numerador quanto o denominador tendem a infinito em valor absoluto, gerando a forma \infty/\infty. Precisamos reescrever a expressão de modo a eliminar essa indeterminação.

Passo 3

No numerador, fatoremos x^2 debaixo da raiz maior:
\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}+x+1}} =\sqrt{x^2\Bigl(1+\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x^2}\Bigr)} =\sqrt{x^2}\,\sqrt{1+\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x^2}}.

Passo 4

Como x\to -\infty, temos \sqrt{x^2}=|x|=-x. Além disso,
\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x^2} =\frac{|x|\sqrt{1+\tfrac1x+\tfrac1{x^2}}}{x^2} =\frac{-x}{x^2}\,\sqrt{1+\tfrac1x+\tfrac1{x^2}} =-\frac{1}{x}\,\sqrt{1+\tfrac1x+\tfrac1{x^2}}.
Logo a expressão original vira
\frac{\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}+x+1}}}{x+5} =\frac{-x\;\sqrt{\,1-\tfrac{1}{x}\sqrt{1+\tfrac1x+\tfrac1{x^2}}\,}}{\,x\bigl(1+\tfrac5x\bigr)}.

Passo 5

Agora calculamos o limite de cada fator quando x\to -\infty:
-\frac{x}{x}\to -1,\qquad \sqrt{1-\frac{1}{x}\sqrt{1+\tfrac1x+\tfrac1{x^2}}}\;\to\sqrt{1-0}=1,\qquad \frac{1}{1+\tfrac5x}\to1.
Multiplicando, o limite final é -1\cdot1\cdot1=-1.

Resposta

-1

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