Calcule \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg}\left(3 x^{2}\right)+\operatorname{sen}^{2}(5 x)}{x^{2}}. q

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to0}\frac{\tan\bigl(3x^{2}\bigr)+\sin^{2}(5x)}{x^{2}}.
O conteúdo aqui é limite de funções usando aproximações para pequenos argumentos e os limites trigonométricos básicos \lim_{u\to0}\frac{\tan u}{u}=1 e \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.

Passo 2

Analisamos o termo \tan(3x^{2}). Escrevemos
\frac{\tan(3x^{2})}{x^{2}} =\frac{\tan(3x^{2})}{3x^{2}}\cdot3.
Como 3x^{2}\to0 quando x\to0, vale \frac{\tan(3x^{2})}{3x^{2}}\to1. Portanto o limite desse pedaço é
\lim_{x\to0}\frac{\tan(3x^{2})}{x^{2}}=3.

Passo 3

Agora o termo \sin^{2}(5x). Note que
\frac{\sin^{2}(5x)}{x^{2}} =\Bigl(\frac{\sin(5x)}{5x}\Bigr)^{2}\cdot25.
Como \frac{\sin(5x)}{5x}\to1 quando x\to0, concluímos
\lim_{x\to0}\frac{\sin^{2}(5x)}{x^{2}}=25.

Passo 4

Somamos os limites parciais:
3 + 25 = 28.
Logo, o limite total é 28.

Resposta

28

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