Seja
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 f(x, y) d y d x
Faça um esboço da região D e inverta a ordem da integral.
Propriedade: Se f(x, y)=1 sobre a região D obteremos a área D:
AD=integral duplaD 1 d A

Passo 1

O enunciado pede pra gente trabalhar com a integral dupla
integral-2^2integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2f(x,y),dy,dx
nosso conteúdo é mudança da ordem de integração em integrais duplas sobre uma região plana. Para resolver, vamos precisar lembrar como descrever a mesma região trocando o papel de x e y nos limites.

Passo 2

A região D está dada por todas as pontos (x,y) tais que
-2<= x<= 2, -raiz4-x^2<= y<= raiz4-x^2
Isso é justamente o disco de raio 2 centrado na origem em (x,y). Se fizermos um esboço, desenhamos um círculo de raio 2.

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, escolhemos y primeiro. Olhando para o disco, y varia de -2 até 2. Para cada valor fixo de y, x percorre entre as soluções de x2+y2\le4, ou seja,
-raiz4-y^2<= x<= raiz4-y^2

Passo 4

Portanto, a integral com ordem invertida fica
integraly=-2^2integralx=-raiz4-y^2^raiz4-y^2f(x,y),dx,dy

Passo 5

Como verificação, se escolhermos f(x,y)=1, essa integral calcula a área do disco, que sabemos ser A_D=π·2^2=4π, e podemos confirmar fazendo essa integral em coordenadas cartesianas.

Resposta

integraly=-2^2integralx=-raiz4-y^2^raiz4-y^2f(x,y),dx,dy

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