Seja
Faça um esboço da região
e inverta a ordem da integral.
Propriedade: Se
sobre a região
obteremos a área D:
Propriedade: Se
Passo 1
O enunciado pede pra gente trabalhar com a integral dupla
nosso conteúdo é mudança da ordem de integração em integrais duplas sobre uma região plana. Para resolver, vamos precisar lembrar como descrever a mesma região trocando o papel de x e y nos limites.
Passo 2
A região D está dada por todas as pontos (x,y) tais que
Isso é justamente o disco de raio 2 centrado na origem em (x,y). Se fizermos um esboço, desenhamos um círculo de raio 2.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, escolhemos y primeiro. Olhando para o disco, y varia de -2 até 2. Para cada valor fixo de y, x percorre entre as soluções de x2+y2\le4, ou seja,
Passo 4
Portanto, a integral com ordem invertida fica
Passo 5
Como verificação, se escolhermos f(x,y)=1, essa integral calcula a área do disco, que sabemos ser A_D=π·2^2=4π, e podemos confirmar fazendo essa integral em coordenadas cartesianas.