Calcule as integrais definidas abaixo usando o método de substituição.
(e) integral0^1 1(1+raizx)^4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^11(1+raizx)^4,dx usando método de substituição.

Passo 2

Fazemos a primeira substituição t=raizx, então x=t^2 e dx=2t,dt. Quando x=0 temos t=0 e quando x=1 temos t=1. A integral vira
integral0^11(1+raizx)^4,dx=integral0^11(1+t)^4cdot2t,dt=integral0^12t(1+t)^4,dt

Passo 3

Para simplificar ainda mais, fazemos u=1+t, logo du=dt e t=u-1. Os limites passam a ser u(0)=1 e u(1)=2. A integral fica
integral1^22(u-1)u^4,du

Passo 4

Expandindo o integrando:
2(u-1)u^4=2u^-3-2u^-4
Agora integramos termo a termo:
integral(2u^-3-2u^-4),du=-u^-2+23u^-3+C

Passo 5

Avaliamo-lo entre u=1 e u=2:
l[-u^-2+tfrac23u^-3r]1^2 =(-12^2+23cdot2^3)-(-1+23) =(-14+112)-(-13) =-16+13=16

Resposta

1/6

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