Calcule a área da região D limitada pelas curvas y=x^2, y=1-x^2, x=0

Passo 1

O enunciado pede a área da região D limitada pelas curvas y = x², y = 1 – x² e pela reta x = 0. Isso é um típico problema de área entre curvas usando integração.

Passo 2

Primeiro, identificamos onde y = x² e y = 1 – x² se cruzam, pois esses pontos vão dar os limites de integração fora x = 0. Igualando
x^2 = 1 - x^2
temos
2x^2 = 1 Rightarrow x = pm 1raiz2

Passo 3

Como a reta x = 0 limita à esquerda, ficamos com a região em 0 ≤ x ≤ 1/√2. Em cada x desse intervalo, a borda superior é y = 1 – x² e a inferior é y = x². A área é dada por
A = integral0^1/raiz2 l[(1 - x^2) - x^2r] ,dx = integral0^1/raiz2 (1 - 2x^2) ,dx

Passo 4

Agora integramos:
integral (1 - 2x^2) ,dx = x - 23x^3 + C

Passo 5

Avalia-se de 0 a 1/√2:
A = l(x - tfrac23x^3r)|0^1/raiz2 = l(tfrac1raiz2 - tfrac23tfrac1(raiz2)^3r) - 0

Passo 6

Como (√2)³ = 2√2, temos
tfrac23tfrac12raiz2 = tfrac13raiz2,
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A = tfrac1raiz2 - tfrac13raiz2 = tfrac23raiz2 = tfracraiz23

Resposta

raiz23

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