Seja
F(s)=integral0^infty e^-s t f(t) d t
É possível mostrar que, enquanto f satisfizer as condições do Teorema 6.1.2, é possível diferenciar sob o sinal de integral em relação ao parâmetro s quando s>a.
a. Mostre que F^prime(s)=L-t f(t).
b. Mostre que F^(n)(s)=L(-t)^n f(t); portanto, derivar a transformada de Laplace corresponde a multiplicar a função original por -t.
Em cada um dos Problemas 22 a 25, use o resultado do Problema 21 para encontrar a transformada de Laplace da função dada; a e b são números reais e n é um inteiro positivo.
22. f(t)=t e^a t
23. f(t)=t^2 sen(b t)
24. f(t)=t^n e^a t
25. f(t)=t e^a t sen(b t)

Passo 1

O enunciado define a transformada de Laplace
F(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
e pede que mostremos que podemos derivar em relação a s sob o sinal de integral (teorema de derivação sob o integral parametrizado). Em (a) vamos provar que
F'(s)=L-t,f(t),
e em (b) mostrar por indução que
F^(n)(s)=L(-t)^n,f(t)
Em seguida, nos Problemas 22–25 usaremos essa propriedade para calcular transformadas de funções do tipo t^k e^at ou t^ksin(bt).

Passo 2

Para obter F'(s), aplicamos a derivada em s dentro da integral, o que é válido pelas condições do Teorema 6.1.2. Assim,
F'(s) =ddsintegral0^inftye^-stf(t),dt =integral0^inftypartialpartial sl(e^-str),f(t),dt =integral0^infty(-t)e^-stf(t),dt =L-t,f(t)

Passo 3

Repetindo esse argumento n vezes, cada derivada em s traz um fator -t dentro da integral. Logo, por indução,
F^(n)(s) =integral0^inftypartial^npartial s^nl(e^-str),f(t),dt =integral0^infty(-t)^n,e^-stf(t),dt =L(-t)^n,f(t)
Isto mostra que derivar n vezes equivale a multiplicar f(t) por (-t)^n.

Passo 4

Problema 22: f(t)=t,e^at.
Primeiro, sabemos que
Le^at=1s-a
Como Lt,g(t)=-ddsLg(t), temos
Lt,e^at =-ddsl(1s-ar) =1(s-a)^2

Passo 5

Problema 23: f(t)=t^2sin(bt).
Aqui Lsin(bt)=b/(s^2+b^2). Pelo resultado do passo 3,
Lt^2sin(bt) =L(-t)^2sin(bt) =F''(s),
onde F(s)=b/(s^2+b^2). Calculando:
F'(s)=-2bs(s^2+b^2)^2, F''(s) =2b(3s^2-b^2)(s^2+b^2)^3

Passo 6

Problema 24: f(t)=t^n e^at.
De novo, Le^at=1/(s-a). Então, usando Lt^n g(t)=(-1)^n,d^n/ds^nl(Lg(t)r), obtemos
Lt^n e^at =(-1)^nd^nds^nl(1s-ar) =n!(s-a)^n+1

Passo 7

Problema 25: f(t)=t,e^atsin(bt).
Sabemos que
Le^atsin(bt) =b(s-a)^2+b^2
Como Lt,g(t)=-d/ds,Lg(t), vem
Lt,e^atsin(bt) =-ddsl(b(s-a)^2+b^2r) =2b,(s-a)l((s-a)^2+b^2r)^2

Resposta

  1. 1(s-a)^2
  2. 2b,(3s^2-b^2)(s^2+b^2)^3
  3. n!(s-a)^n+1
  4. 2b,(s-a)l((s-a)^2+b^2r)^2

Exercícios relacionados