Seja
É possível mostrar que, enquanto
satisfizer as condições do Teorema 6.1.2, é possível diferenciar sob o sinal de integral em relação ao parâmetro
quando
.
a.
Mostre que
.
b. Mostre que
; portanto, derivar a transformada de Laplace corresponde a multiplicar a função original por
.
Em cada um dos Problemas 22 a 25, use o resultado do Problema 21 para encontrar a transformada de Laplace da função dada;
e
são números reais e
é um inteiro positivo.
22.
23.
24.
25.
a.
b. Mostre que
Em cada um dos Problemas 22 a 25, use o resultado do Problema 21 para encontrar a transformada de Laplace da função dada;
22.
23.
24.
25.
Passo 1
O enunciado define a transformada de Laplace
e pede que mostremos que podemos derivar em relação a
sob o sinal de integral (teorema de derivação sob o integral parametrizado). Em (a) vamos provar que
e em (b) mostrar por indução que
Em seguida, nos Problemas 22–25 usaremos essa propriedade para calcular transformadas de funções do tipo
ou
.
Passo 2
Para obter
, aplicamos a derivada em
dentro da integral, o que é válido pelas condições do Teorema 6.1.2. Assim,
Passo 3
Repetindo esse argumento
vezes, cada derivada em
traz um fator
dentro da integral. Logo, por indução,
Isto mostra que derivar
vezes equivale a multiplicar
por
.
Passo 4
Problema 22:
.
Primeiro, sabemos que
Primeiro, sabemos que
Como
, temos
Passo 5
Problema 23:
.
Aqui . Pelo resultado do passo 3,
Aqui
onde
. Calculando:
Passo 6
Problema 24:
.
De novo, . Então, usando
, obtemos
De novo,
Passo 7
Problema 25:
.
Sabemos que
Sabemos que
Como
, vem