Seja
I=integral0^1 x^p ln (x) d x
b) Mostre que se p neq-1, então
integral x^p ln x d x=x^p+1p+1(ln x-1p+1)+C

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que mostrar que, para integral x^p ln x , dx = x^p+1p+1(ln x - 1p+1) + C ,
Estamos trabalhando com integrais que envolvem funções potenciais e logarítmicas. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

A integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser e . Geralmente, escolhemos como a função que simplifica quando derivada, e como o restante.

Passo 3

Nesse caso, vamos escolher:
u = ln x e dv = x^p dx
Agora, vamos calcular e .

Passo 4

Calculando du = ddx(ln x) dx = 1x dx :
v = integral x^p dx = x^p+1p+1 (válido para p neq -1)
E integrando para encontrar :
á

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^p ln x , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= ln x cdot x^p+1p+1 - integral x^p+1p+1 cdot 1x dx

Passo 6

Simplificando a integral restante:
integral x^p+1p+1 cdot 1x dx = 1p+1 integral x^p dx
Integrando = 1p+1 cdot x^p+1p+1 = x^p+1(p+1)^2 :

Passo 7

Substituindo de volta na expressão original:
integral x^p ln x , dx = x^p+1p+1 ln x - x^p+1(p+1)^2 + C
Fatorando = x^p+1p+1 ( ln x - 1p+1 ) + C :

Resposta

Assim, mostramos que para integral x^p ln x , dx = x^p+1p+1(ln x - 1p+1) + C ,

Exercícios relacionados