Calcule a derivada das funções utilizando as regras de diferenciação aprendidas:
f(x) = (e^(3 x) / (1 + ln x))^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função . Isso envolve usar algumas regras de diferenciação que aprendemos, como a regra do poder, a regra da cadeia e a regra do quociente. Vamos precisar lembrar como aplicar cada uma delas para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que nossa função é uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. Aqui, temos algo elevado ao cubo, então vamos aplicar a Regra do Poder, que nos diz que a derivada de é . No nosso caso, e .

Passo 3

Aplicando a Regra do Poder, a derivada de fica:
Agora, precisamos encontrar a derivada de .

Passo 4

Para derivar , vamos usar a Regra do Quociente, que diz que a derivada de é , onde e .

Passo 5

Vamos calcular e :

  • A derivada de é , então

  • A derivada de é , então

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra do Quociente:
Podemos fatorar o no numerador:

Passo 7

Agora, substituímos essa derivada de volta na expressão do Passo 3:

Passo 8

Podemos simplificar as expressões:
Multiplicando os termos:

Resposta

Portanto, a derivada da função é:

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