Determine a derivada de cada função utilizando a regra da cadeia.
f(x) = sen^3(x^4 + 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a derivada da função usando a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia é uma técnica de derivação que nos ajuda a encontrar a derivada de funções compostas, ou seja, quando uma função está dentro de outra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções internas e externas. Nossa função pode ser vista como uma composição de duas funções:
  • Função Externa: , onde
  • Função Interna:

Passo 3

A Regra da Cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é . Aplicando isso às nossas funções:
  1. Derivada da função externa em relação a :
  2. Derivada da função intermediária em relação a :
  3. Derivada da função interna em relação a :

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia multiplicando essas derivadas:
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 5

Lembrando que e , substituímos de volta na expressão:

Passo 6

Finalmente, simplificamos a expressão multiplicando os coeficientes:

Resposta

A derivada da função é:

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