Suponha que a função
e usando recurso computacional conveniente (Mathematica, Matlab, etc).
Encontre uma expressão para
e determine o limite de
quando
.
Encontre uma expressão para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com a função
. O objetivo aqui é encontrar uma expressão para
e depois descobrir qual é o limite de
quando
vai para o infinito. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente de integrais, e também vamos precisar entender como funcionam as funções especiais que aparecem quando a integral de
é calculada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Normalmente,
representa a antiderivada de
, ou seja, a integral de
em relação a
. Então, temos:
Essa integral não tem uma solução em função de funções elementares, o que significa que não podemos expressá-la usando apenas polinomiais, exponenciais, logaritmos, etc.
Passo 3
Para resolver essa integral, a gente usa uma função especial chamada Função Erro, ou Função Gaussiana, representada por
. A função erro é definida como:
Com essa definição, podemos expressar
em termos da função erro.
Passo 4
Rearranjando a definição da função erro para resolver para a integral de
, temos:
Aqui,
é a constante de integração. Portanto, a expressão para
é:
Passo 5
Agora, vamos determinar o limite de
quando
tende ao infinito. Primeiro, observamos o comportamento da função erro nesse limite:
Isso porque, conforme
cresce, a integral se aproxima de toda a área sob a curva
.
Passo 6
Substituindo esse limite na expressão de
, temos:
Se considerarmos a constante de integração
(o que é comum quando se lida com antiderivadas indefinidas sem condições iniciais), então:
Resposta
A expressão para
é
e o limite de
quando
vai para o infinito é
.