Suponha que a função f(x)=e^-x^2 e usando recurso computacional conveniente (Mathematica, Matlab, etc).
Encontre uma expressão para F(x) e determine o limite de F(x) quando x infty.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com a função . O objetivo aqui é encontrar uma expressão para e depois descobrir qual é o limite de quando vai para o infinito. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente de integrais, e também vamos precisar entender como funcionam as funções especiais que aparecem quando a integral de é calculada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é F(x) = integral e^-x^2 , dx . Normalmente, representa a antiderivada de , ou seja, a integral de em relação a . Então, temos:
Essa integral não tem uma solução em função de funções elementares, o que significa que não podemos expressá-la usando apenas polinomiais, exponenciais, logaritmos, etc.

Passo 3

Para resolver essa integral, a gente usa uma função especial chamada Função Erro, ou Função Gaussiana, representada por erf(x) = 2raizpi integral0^x e^-t^2 , dt . A função erro é definida como:
Com essa definição, podemos expressar em termos da função erro.

Passo 4

Rearranjando a definição da função erro para resolver para a integral de integral e^-x^2 , dx = raizpi2 , erf(x) + C , temos:
F(x) = raizpi2 , erf(x) + C
Aqui, é a constante de integração. Portanto, a expressão para é:

Passo 5

Agora, vamos determinar o limite de limx to infty erf(x) = 1 quando tende ao infinito. Primeiro, observamos o comportamento da função erro nesse limite:
Isso porque, conforme cresce, a integral se aproxima de toda a área sob a curva .

Passo 6

Substituindo esse limite na expressão de limx to infty F(x) = raizpi2 cdot 1 + C = raizpi2 + C , temos:
limx to infty F(x) = raizpi2
Se considerarmos a constante de integração (o que é comum quando se lida com antiderivadas indefinidas sem condições iniciais), então:

Resposta

A expressão para é e o limite de quando vai para o infinito é .

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