Seja n um inteiro \geq 2. Em todas as 3 partes, mostre seu trabalho.
Obs.: As 3 partes (1), (2) e (3) são de certa maneira independentes.
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar " 5 / 300 "
  • ou 13.07976 para representar 2 \ln (10)+3 \pi\left(9-e^{2}\right)-3 \sqrt{5}=13.0797548283 \ldots (que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) " 2^{*} \ln (10)+3^{*} pi*(9-exp(2))- 3^{*} sqrt(5)" diretamente no Google por exemplo)
A sugestão é que você use 6 ou mais dígitos significativos: \mathbf{0 . 0 1 6 6 6 6 6} ou \mathbf{1 3 . 0 7 9 7 6}
Parte 3) [25% dos pontos] A partir da fórmula de redução/recursão da Parte (1), e mais particularmente a partir do resultado das Partes (2a) e (2b), calcule S_{6}=\int_{0}^{\pi / 2} s e n^{6} x d x.
S_{6}=\square
(notem que nesta Parte 3 é compulsório que usem a fórmula de recursão acima nas Partes 1 e 2a, fiquem à vontade para discutir este ponto com o professor)

Passo 1

O objetivo é calcular
S_{6}=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{6}x\,dx
usando a fórmula de redução
S_{n}=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}x\,dx =\frac{n-1}{n}\,S_{n-2} \quad(n\ge2)
e os valores de S_{0} e S_{2} obtidos nas partes (2a) e (2b).

Passo 2

Pelos resultados anteriores temos
S_{0}=\int_{0}^{\pi/2}1\,dx=\frac{\pi}{2}, \qquad S_{2}=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\,dx=\frac{\pi}{4}.

Passo 3

Para n=4, a fórmula de redução dá
S_{4}=\frac{4-1}{4}\,S_{2} =\frac{3}{4}\cdot\frac{\pi}{4} =\frac{3\pi}{16}.

Passo 4

Para n=6, aplicamos de novo
S_{6}=\frac{6-1}{6}\,S_{4} =\frac{5}{6}\cdot\frac{3\pi}{16} =\frac{15\pi}{96} =\frac{5\pi}{32}.

Passo 5

Fazendo a aproximação decimal com pelo menos seis dígitos significativos, usando \pi\approx3.1415926536, obtemos
S_{6}=\frac{5\pi}{32}\approx0.49087385.

Resposta

0.49087385

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