(2,5 pontos) Considere o conjunto U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 2 x+5 y-3 z=0\right\}.
(a) (0,5 pontos ) U é um \mathbb{R}-subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3} ?
(b) (0,5 pontos ) Qual dos vetores \vec{v}=(-1,1,1) e \vec{w}=(2,5,-3) pertencem a U ?
(c) ( 0,5 pontos) Ache um vetor \vec{u} em U, mas que não esteja na reta \operatorname{Span}_{\mathbb{R}}\{\vec{v}\}.
(d) ( 1 ponto) Determine um conjunto de geradores linearmente independentes (L.I.) para U.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
U = \{(x,y,z)\in\mathbb R^3 \mid 2x + 5y - 3z = 0\}
e pede: (a) verificar se U é subespaço de \mathbb R^3; (b) testar a pertença de \vec v=(-1,1,1) e \vec w=(2,5,-3) a U; (c) encontrar um vetor em U que não esteja na reta \Span_{\mathbb R}\{\vec v\}; (d) fornecer um conjunto de geradores linearmente independentes para U. O conteúdo envolvido é teoria de subespaços, verificação de equações lineares homogêneas e bases de planos em \mathbb R^3.

Passo 2

Para (a), como U é o conjunto de soluções da equação linear homogênea
2x + 5y - 3z = 0,
ele contém o vetor nulo (0,0,0) e, se (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) satisfazem 2x+5y-3z=0, então para qualquer \alpha,\beta\in\mathbb R vale
2(\alpha x_1+\beta x_2)+5(\alpha y_1+\beta y_2)-3(\alpha z_1+\beta z_2) =\alpha\bigl(2x_1+5y_1-3z_1\bigr)+\beta\bigl(2x_2+5y_2-3z_2\bigr)=0.
Logo U é fechado sob combinação linear e, portanto, é subespaço de \mathbb R^3.

Passo 3

Para (b), basta verificar a equação em cada vetor:
– Em \vec v=(-1,1,1):
2(-1) + 5(1) - 3(1) = -2 + 5 - 3 = 0,
logo \vec v\in U.
– Em \vec w=(2,5,-3):
2(2) + 5(5) - 3(-3) = 4 + 25 + 9 = 38 \neq 0,
portanto \vec w\notin U.

Passo 4

Para (c), precisamos de um \vec u\in U que não seja múltiplo de \vec v. Escolhendo, por exemplo, y=1 e z=0, a equação
2x + 5\cdot1 - 3\cdot0 = 0
2x + 5 = 0, ou seja x = -\tfrac52. Assim podemos tomar
\vec u = \bigl(-\tfrac52,\,1,\,0\bigr).
Se fosse \vec u = a\,\vec v, então da segunda componente viria a\cdot1 = 1\implies a=1, mas daí a primeira componente seria -1\neq -\tfrac52. Logo \vec u\notin\Span\{\vec v\}.

Passo 5

Para (d), vemos que U é um plano de dimensão 2 em \mathbb R^3. Podemos usar \vec v e \vec u do item anterior como geradores. Já mostramos que \vec v\in U e \vec u\in U e que nenhum é múltiplo do outro, logo são linearmente independentes e geram U. Portanto
\{\,( -1,1,1 ),\,(-\tfrac52,1,0)\}
é um conjunto de geradores L.I. de U.

Resposta

(a) Sim, U é subespaço vetorial de \mathbb R^3.
(b) \vec v\in U e \vec w\notin U.
(c) Um exemplo é \vec u =(-\tfrac52,\,1,\,0).
(d) Um conjunto de geradores L.I. é \{(-1,1,1),\,(-\tfrac52,1,0)\}.

Exercícios relacionados