(2,5 pontos) Considere o conjunto
.
(a)
pontos
é um
-subespaço vetorial de
?
(b)
pontos
Qual dos vetores
e
pertencem a
?
(c) ( 0,5 pontos) Ache um vetor
em
, mas que não esteja na reta
.
(d) ( 1 ponto) Determine um conjunto de geradores linearmente independentes (L.I.) para
.
(a)
(b)
(c) ( 0,5 pontos) Ache um vetor
(d) ( 1 ponto) Determine um conjunto de geradores linearmente independentes (L.I.) para
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede: (a) verificar se
é subespaço de
; (b) testar a pertença de
e
a
; (c) encontrar um vetor em
que não esteja na reta
; (d) fornecer um conjunto de geradores linearmente independentes para
. O conteúdo envolvido é teoria de subespaços, verificação de equações lineares homogêneas e bases de planos em
.
Passo 2
Para (a), como
é o conjunto de soluções da equação linear homogênea
ele contém o vetor nulo
e, se
e
satisfazem
, então para qualquer
vale
Logo
é fechado sob combinação linear e, portanto, é subespaço de
.
Passo 3
Para (b), basta verificar a equação em cada vetor:
– Em
:
logo
.
– Em
:
portanto
.
Passo 4
Para (c), precisamos de um
que não seja múltiplo de
. Escolhendo, por exemplo,
e
, a equação
dá
, ou seja
. Assim podemos tomar
Se fosse
, então da segunda componente viria
, mas daí a primeira componente seria
. Logo
.
Passo 5
Para (d), vemos que
é um plano de dimensão 2 em
. Podemos usar
e
do item anterior como geradores. Já mostramos que
e
e que nenhum é múltiplo do outro, logo são linearmente independentes e geram
. Portanto
é um conjunto de geradores L.I. de
.
Resposta
(a) Sim,
é subespaço vetorial de
.
(b) e
.
(c) Um exemplo é .
(d) Um conjunto de geradores L.I. é .
(b)
(c) Um exemplo é
(d) Um conjunto de geradores L.I. é